$k>0$，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$に対し，第一象限の点$\mathrm{P}$を，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D:x^2+y^2=1$上にとり，直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k \theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし，関数$\displaystyle y=g(x)=\frac{f(x)}{x}$で定める曲線を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．

$y>0$とするとき，不等式
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．

関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2 |x+1|+1$に対し，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(t,\ f(t)) (t>-1)$における曲線$C$の接線に垂直で，点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を，$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が点$(-1,\ f(-1))$を通るとき，$t$の中で最も小さいものを求めよ．
(3)$(2)$で求めた$t$が定める直線$\ell$と曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}$について，次の各問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)$x \geqq 0$において$f^\prime(x) \geqq 0$および$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$f(x)$の定積分を利用して$\displaystyle \sin 1 \geqq \frac{5}{6}$を示せ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．

上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$

(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$


(2)次の定積分の値を求めよ．


(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$

数列$\{a_n\}$を$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定める．また$\alpha$を$\displaystyle \alpha=1+\frac{1}{\alpha}$を満たす正の実数とする．次の各問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$で定める．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$b_n \geqq 1$となることを示せ．
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$\displaystyle |b_{n+1|-\alpha} \leqq \frac{1}{\alpha} |b_n-\alpha|$となることを示せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$\displaystyle |b_n-\alpha| \leqq \frac{1}{\alpha^n}$となることを示せ．

次の各問いに答えよ．

(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$のグラフの概形をかけ．

(2)定積分$\displaystyle \int_1^2 x \sqrt{2-x} \, dx$を求めよ．

$2$つの複素数$w,\ z$が$\displaystyle w=\frac{iz}{z-2}$を満たしているとする．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)複素数平面上で，点$z$が原点を中心とする半径$2$の円周上を動くとき，点$w$はどのような図形を描くか．ただし，$z \neq 2$とする．
(2)複素数平面上で点$z$が虚軸上を動くとき，点$w$はどのような図形を描くか．
(3)複素数平面上で点$w$が実軸上を動くとき，点$z$はどのような図形を描くか．