座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．

(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．

(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．

(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．

次の$[　]$の中を適当に補え．

(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$[　]$個である．
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[　]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[　]$である．

$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに

$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$

とし，

$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$

とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補え．

(1)$\displaystyle \frac{5561}{6059}$をこれ以上約分できない分数に直すと$[　]$．
(2)次の漸化式で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=(a_n+n)(a_n-n) \]
このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^5 a_k$を求めると$[　]$．
(3)数直線上で，点$\mathrm{P}$の出発点を原点$\mathrm{O}$とし，サイコロを投げたとき，出た目に応じて，次の規則で点$\mathrm{P}$を動かすものとする．
\begin{itemize}
出た目が$1$または$2$のとき，点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$3$または$4$のとき，点$\mathrm{P}$を負の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$5$または$6$のとき，点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$に戻す．
\end{itemize}
サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率は$[　]$．

曲線$\displaystyle y=-x^2+\frac{3}{2}$上の点$\mathrm{P}(x,\ y) (y \geqq 0)$から原点$\mathrm{O}$が中心で半径が$1$である円に$2$本の接線を引き，それらの接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．四角形$\mathrm{PAOB}$の面積の最大値$M$，最小値$m$とそれらを与える点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．

$2$曲線$y=e^x-1$，$\displaystyle y=e^{-x}+\frac{1}{2}$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに

$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$

とし，

$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$

とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．

座標平面において，実数$x$に対して，$4$点$(x,\ 0)$，$(x+1,\ 0)$，$(x+1,\ 1)$，$(x,\ 1)$を頂点とする正方形で囲まれる領域を$A_x$とし，$A_1 \cap A_x$の面積を$f(x)$とおく．ただし，$A_1 \cap A_x$が空集合あるいは線分のときは，$f(x)=0$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフをかけ．

(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき，$\displaystyle g \left( \frac{1}{2} \right)$，$g(2)$を求めよ．

(3)$(2)$の$g(x)$について，$\displaystyle \int_0^3 xg(x) \, dx$を求めよ．

正の整数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
とおき，$1$以上$n$以下のすべての奇数の積を$A_n$とする．

(1)$\log_2 n$以下の最大の整数を$N$とするとき，$2^NA_nS_n$は奇数の整数であることを示せ．
(2)$\displaystyle S_n=2+\frac{m}{20}$となる正の整数の組$(n,\ m)$をすべて求めよ．
(3)整数$a$と$0 \leqq b<1$をみたす実数$b$を用いて，
\[ A_{20}S_{20}=a+b \]
と表すとき，$b$の値を求めよ．

座標平面上の曲線$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1 (y \geqq 0)$を$C$とする．実数$t>1$に対して，点$(0,\ t)$を通り第$1$象限の点$(a,\ b)$で曲線$C$に接する直線を$\ell$とする．

(1)$x$軸，$y$軸と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，$S_1(t)$の最小値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=b$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，導関数$S_2^\prime(t)$の最大値を求めよ．