$i$を虚数単位とする．実数$x$に対し
\[ \frac{1}{x-2i}=u+iv \quad (u,\ v \text{は実数}) \]
と表すとき，次の問に答えよ．

(1)$u$と$v$を$x$で表せ．

(2)$\displaystyle \frac{du}{dx}$と$\displaystyle \frac{dv}{dx}$を求めよ．

(3)定積分$\displaystyle \int_0^2 u \, dx$と$\displaystyle \int_0^2 v \, dx$の値を求めよ．

$a$を定数とし，$0 \leqq x \leqq 3$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=x-6x^{\frac{1}{3}} \]
と定める．直線$y=-x+a$が曲線$y=f(x)$に接するとき，次の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の概形を描け．
(4)曲線$y=f(x)$，直線$y=-x+a$および$y$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$a$を定数とする．放物線$y=ax^2$と曲線$y=\log x$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもち，点$\mathrm{P}$で共通の接線をもつ．$a$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

(2)$a,\ b$を定数とし，$f(x)=ax^2+(b-a)x-b$とする．$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}=1$，$f(2)=5$が成り立つとき，$a,\ b$の値を求めよ．

(3)定積分$\displaystyle \int_2^3 \frac{x^3-1}{x^2-1} \, dx$の値を求めよ．

$p$を定数とする．数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が
\[ a_1=b_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=p,\quad b_{n+1}-b_n=a_n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
により定義されている．次の問に答えよ．

(1)$a_n$を$n$と$p$の式で表せ．
(2)$b_n$を$n$と$p$の式で表せ．

(3)$\displaystyle \sum_{n=3}^{11} \frac{1}{b_n}=1$となるような$p$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)曲線$y=\cos (\pi x)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{4},\ \cos \frac{9 \pi}{4} \right)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b$を定数とする．放物線$y=a(x-b)^2$が点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{4},\ \cos \frac{9 \pi}{4} \right)$を通り，点$\mathrm{P}$におけるこの放物線の接線が$(1)$で求めた接線と一致するとき，$a,\ b$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$に対し
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\cos \pi x & \left( x \leqq \displaystyle\frac{9}{4} \right) \\
a(x-b)^2 & \left( x \geqq \displaystyle\frac{9}{4} \right) \phantom{\frac{[　]^{[　]}}{2}}
\end{array} \right. \]
とする．$y=f(x)$のグラフをかけ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．

曲線$y=\sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を$F$，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}} \sin 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を$G$とする．

(1)$F$と$G$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$xy$平面上に$F$と$G$を図示せよ．$(1)$で求めた交点の座標に加え，軸との交点の座標もかくこと．
(3)$F$と$G$で囲まれた部分（境界線を含む）に含まれる点のうち，$x$と$y$がともに整数となる点の座標をすべて求めよ．

$\displaystyle x=\frac{\sqrt{8}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)$x+y$を計算せよ．
(2)$xy$を計算せよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$を計算せよ．

(4)$x^2+y^2$を計算せよ．

次の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \left( 0.8-\frac{2}{3} \right) \div \frac{2}{3}$
(2)$(-2)^2 \times 2^{-2}-(-2^2) \times 2^0$
(3)$2 \sqrt{3}-2 \sqrt{12}+\sqrt{27}$
(4)$3x^2y \div 2xy^2 \times (-2y)^2$

$2$つのサイコロ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をふって出た目をそれぞれ$a,\ b$として次の式
\[ \left( ax^2+\frac{b}{x} \right)^5 \]
の展開式を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$x^4$の係数が$1080$であるとき，$a$および$b$の値を求めよ．
(2)$x^7$の係数よりも$\displaystyle \frac{1}{x^2}$の係数のほうが大きくなる確率を求めよ．