「分数」について
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国立 京都教育大学 2015年 第6問区間$[0,\ 1]$を$n$等分して得た分点を
\[ 0=x_0<x_1<\cdots <x_n=1 \]
とならべる．すなわち，
\[ x_k=\frac{k}{n} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n) \]
とおく．$f(x)=x^2+1 (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，$4$点$(x_{k-1},\ 0)$，$(x_k,\ 0)$，$(x_k,\ f(x_k))$，$(x_{k-1},\ f(x_{k-1}))$を頂点とする台形$S_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$の$k=1$から$k=n$までの集まりを$R_n$とおく．
(1)図形$R_4$を図示せよ．
(2)図形$R_n$の面積を$r_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\frac{4}{3}$であることを証明せよ．
\[ 0=x_0<x_1<\cdots <x_n=1 \]
とならべる．すなわち，
\[ x_k=\frac{k}{n} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n) \]
とおく．$f(x)=x^2+1 (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，$4$点$(x_{k-1},\ 0)$，$(x_k,\ 0)$，$(x_k,\ f(x_k))$，$(x_{k-1},\ f(x_{k-1}))$を頂点とする台形$S_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$の$k=1$から$k=n$までの集まりを$R_n$とおく．
(1)図形$R_4$を図示せよ．
(2)図形$R_n$の面積を$r_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\frac{4}{3}$であることを証明せよ．
国立 宮城教育大学 2015年 第3問関数$f(x)$が
\[ f(x)=3x^2-\int_0^1 |f(t)| \, dt \]
をみたすとき，次の問に答えよ．
(1)方程式$4x^3-6x^2+1=0$を$\displaystyle x=\frac{1}{u}$とおくことにより解け．
(2)$\displaystyle \int_0^1 |f(t)| \, dt=3a^2$とおくとき，$a$の値を求めよ．ただし，$a \geqq 0$とする．
\[ f(x)=3x^2-\int_0^1 |f(t)| \, dt \]
をみたすとき，次の問に答えよ．
(1)方程式$4x^3-6x^2+1=0$を$\displaystyle x=\frac{1}{u}$とおくことにより解け．
(2)$\displaystyle \int_0^1 |f(t)| \, dt=3a^2$とおくとき，$a$の値を求めよ．ただし，$a \geqq 0$とする．
国立 東京医科歯科大学 2015年 第3問実数$a,\ b$に対し，$f(x)=x^3-3ax+b$とおく．$-1 \leqq x \leqq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{3},\ b=1$のとき，$M$を求めよ．
(3)$M=4,\ b=1$となるような$f(x)$をすべて求めよ．
(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{3},\ b=1$のとき，$M$を求めよ．
(3)$M=4,\ b=1$となるような$f(x)$をすべて求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第3問$f(x)=|1+2 \sin 2x|$とする．次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第2問連立不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$3x+y \leqq 8$，$x+3y \leqq 9$が表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．
(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第3問$b_1=1,\ b_2=4,\ b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n+\frac{1}{n(n+1)}+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとき，次の問いに答えよ．
(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第3問$b_1=1,\ b_2=4,\ b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n+\frac{1}{n(n+1)}+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとき，次の問いに答えよ．
(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，半径を$1$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，半径を$1$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第4問微分可能な関数$f(x)$は，$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$，$f(1)=0$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．