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国立 山形大学 2016年 第4問数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
国立 山形大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
国立 山形大学 2016年 第3問$n$を自然数とし，$t>0$とする．曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第4問複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{W}(w)$，$\mathrm{Z}(z)$は原点$\mathrm{O}(0)$と異なり，
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする．$2$直線$\mathrm{OW}$，$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ．
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ．
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする．$2$直線$\mathrm{OW}$，$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ．
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第1問数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=5,\quad {a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2=\frac{2}{3} a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+2}$を$a_n,\ a_{n+1}$を用いて表せ．
(3)一般項$a_n$を求めよ．
\[ a_1=5,\quad {a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2=\frac{2}{3} a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+2}$を$a_n,\ a_{n+1}$を用いて表せ．
(3)一般項$a_n$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし，平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan \left( \displaystyle\frac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \]
を求めよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan \left( \displaystyle\frac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \]
を求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=5,\quad {a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2=\frac{2}{3} a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+2}$を$a_n,\ a_{n+1}$を用いて表せ．
(3)一般項$a_n$を求めよ．
\[ a_1=5,\quad {a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2=\frac{2}{3} a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+2}$を$a_n,\ a_{n+1}$を用いて表せ．
(3)一般項$a_n$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし，平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第4問$a$を正の定数とする．$2$つの曲線$C_1:y=x \log x$と$C_2:y=ax^2$の両方に接する直線の本数を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}=0$は証明なしに用いてよい．