次の$[　]$をうめよ．
\begin{mawarikomi}{45mm}{

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ & $\mathrm{D}$ & $\mathrm{E}$ \\ \hline
$x$ & $7$ & $3$ & $5$ & $2$ & $3$ \\ \hline
$y$ & $4$ & $5$ & $7$ & $3$ & $6$ \\ \hline
\end{tabular}
}

(1)右の表は，ある中学校の$5$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$に$2$つの科目の小テストを行った結果である．$2$つの科目の得点をそれぞれ$x,\ y$とする．
このとき，$x$の分散を求めると$[　]$であり，$x$と$y$の共分散を求めると$[　]$である．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$において辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とおく（ただし$0<t<1$とする）．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{BR}=\mathrm{RP}$となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[　]$となり，そのときの$t$の値を求めると$t=[　]$となる．

\end{mawarikomi}

下の表は，ある高校の生徒$30$人の$2$つの科目$x$と$y$のテスト（点）の得点をまとめたものである．数値は，四捨五入していない正確な値とし，次の問いに答えよ．ただし，$\overline{x}$，$\overline{y}$はそれぞれ科目$x$，$y$の平均を意味し，$\sqrt{1.64}=1.28$，$\sqrt{2.73}=1.65$とする．

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $x$ & $y$ & $x-\overline{x}$ & $(x-\overline{x})^2$ & $y-\overline{y}$ & $(y-\overline{y})^2$ & $(x-\overline{x})(y-\overline{y})$ \\ \hline
$1$ & $38$ & $39$ & $-23$ & $529$ & $-29$ & $841$ & $667$ \\ \hline
$2$ & $40$ & $50$ & $-21$ & $441$ & $-18$ & $324$ & $378$ \\ \hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
$29$ & $80$ & $90$ & $19$ & $361$ & $22$ & $484$ & $418$ \\ \hline
$30$ & $82$ & $96$ & $21$ & $441$ & $28$ & $784$ & $588$ \\ \hline
合計 & $1830$ & $[$12$]$ & $0$ & $4932$ & $0$ & $8190$ & $3181$ \\ \hline
平均値 & $61$ & $[$13$]$ & & & & & \\ \hline
中央値 & $60$ & $63$ & & & & & \\ \hline
\end{tabular}


(1)$[$12$]$，$[$13$]$の値を求めよ．
(2)科目$x,\ y$のそれぞれの分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．${s_x}^2=[$14$]$，${s_y}^2=[$15$]$
(3)科目$x,\ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．$s_{xy}=[$16$]$
(4)科目$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ．小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．$r=[$17$]$
(5)科目$x$と$y$の散布図として適切なものを下の（ア），（イ），（ウ）の図から選べ．$[$18$]$
（図は省略）

次の問いに答えなさい．

(1)次の式を展開しなさい．

$(x+y)(x^2+xy+y^2)(x-y)^2(x^2+y^2)$
$=\mkakko{$\mathrm{a}$}x^7+\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}x^4y^3+\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}x^3y^4+\mkakko{$\mathrm{f}$}y^7$

(2)$360$の正の約数の個数とその総和を求めなさい．

約数の個数は$\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}$個，約数の総和は$\mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}$である．

(3)実数$x$と$y$が$x<0<y$を満たすとき，次の式を簡単にしなさい．

$\sqrt{x^2-4xy+4y^2}+|3x-5y|=\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}x+\mkakko{$\mathrm{o}$}y$

(4)$2,\ 3,\ A,\ 6,\ B$という値からなるデータがある．平均値が$5$，分散の値が$6$であるとき$A$と$B$の値を求めなさい．

$(A,\ B)=(\mkakko{$\mathrm{p}$},\ \mkakko{$\mathrm{q}$})$または$(\mkakko{$\mathrm{r}$},\ \mkakko{$\mathrm{s}$})$．ただし$\mkakko{$\mathrm{p}$}<\mkakko{$\mathrm{r}$}$である．

$2$つの変量$x,\ y$が下表で与えられるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$\mathrm{No.}$ & $1$ & $2$ & $3$ & $\cdots$ & $n$ \\ \hline
$x$ & $1$ & $3$ & $5$ & $\cdots$ & $2n-1$ \\ \hline
$y$ & $2$ & $4$ & $6$ & $\cdots$ & $2n$ \\ \hline
\end{tabular}



(1)変量$x$の平均値$m_x$と分散$s_x^2$を求めよ．
(2)変量$x$と変量$y$の相関係数$r$を求めよ．
(3)$n$個の変量$x$に，平均値$2n$，分散$4n^2$からなる$n$個のデータを加えた．この$2n$個からなるデータの平均値$m_x^{\prime}$と分散$s_x^{\prime 2}$をそれぞれ求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々

$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$

で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式

$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$

で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [　] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．

(1)方程式$|x+2|-|x-1|=3x-4$を満たす$x$の値は$[ア]$である．
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$\mathrm{A}(5,\ 2)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 2)$を通るとき，$a=[イ]$，$b=[ウ]$，$c=[エ]$である．この関数$y$のグラフを$x$軸方向に$-3$だけ平行移動したグラフを表す$2$次関数は$y=[オ]$である．
(3)あるクラスの男子学生の身長が，それぞれ$184 \, \mathrm{cm}$，$160 \, \mathrm{cm}$，$165 \, \mathrm{cm}$，$172 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$175 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$180 \, \mathrm{cm}$であるとき，中央値は$[カ] \, \mathrm{cm}$で，分散は$[キ]$である．
(4)$1$から$8$までの数字がひとつずつ書かれた$8$枚のカードの中から同時に$2$枚を選ぶとき，その和が$9$の場合は$100$点，その積が$40$以上の場合は$-25$点，その他の場合は$20$点与えられるものとする．得点の期待値は$[ク]$点である．
(5)不定方程式$17x-13y=1$の整数解を整数$m$を用いて表すと$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．

次の$\tocichi$，$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ．

\mon[$\tocichi$] 数列$\{a_k\}$を$\displaystyle a_k=k+\cos \left( \frac{k\pi}{6} \right)$で定める．$n$を正の整数とする．

\mon[$(1)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} a_k$を求めよ．
\mon[$(2)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} {a_k}^2$を求めよ．

\mon[$\tocni$] $a,\ b,\ c$は異なる$3$つの正の整数とする．次のデータは$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$10$人の得点をまとめたものである．

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ & $⑥$ & $④chi$ & $\maruhachi$ & $\marukyu$ & $\marujyu$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $a$ & $c$ & $a$ & $b$ & $b$ & $a$ & $c$ & $c$ & $b$ & $c$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $a$ & $b$ & $b$ & $b$ & $a$ & $a$ & $b$ & $a$ & $b$ & $a$ \\ \hline
\end{tabular}

科目$\mathrm{X}$の得点の平均値と科目$\mathrm{Y}$の得点の平均値とは等しいとする．
\mon[$(1)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の分散を$s_{\mathrm{X}}^2$，科目$\mathrm{Y}$の得点の分散を$s_{\mathrm{Y}}^2$とする．$\displaystyle \frac{s_{\mathrm{X}}^2}{s_{\mathrm{Y}}^2}$を求めよ．
\mon[$(2)$] 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数を，四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．
\mon[$(3)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の中央値が$65$，科目$\mathrm{Y}$の得点の標準偏差が$11$であるとき，$a,\ b,\ c$の組を求めよ．

$2$つの確率変数$X,\ Y$の確率分布を同時に考えた表（同時確率分布表）が下のように与えられている．ただし，$X,\ Y$は互いに独立であり，$0<a<1$，$0<b<1$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
（図は省略）

(1)表を完成させ，完成させた表を書け．
(2)確率変数$W=X-Y$の平均$E(W)$を求めよ．
(3)確率変数$\displaystyle Z=\frac{Y}{X}$の確率分布表を作成し，$Z$の平均$E(Z)$を求めよ．
(4)$\displaystyle E(Z)=\frac{9}{4},\ E(W)=-\frac{3}{2}$となる場合に，$Z$の分散$V(Z)$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)数字$1$が書かれた玉$a$個（$a \geqq 1$）と，数字$2$が書かれた玉$1$個がある．これら$a+1$個の玉を母集団として，玉に書かれている数字を変量とする．このとき，この母集団から復元抽出によって大きさ$3$の無作為標本を抽出し，その玉の数字を取り出した順に$X_1$，$X_2$，$X_3$とする．標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$の平均$E(\overline{X})$が$\displaystyle \frac{3}{2}$であるとき，$\overline{X}$の確率分布とその分散$V(\overline{X})$を求めよ．ただし，復元抽出とは，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを$1$個取り出す抽出法である．
(2)ある企業の入社試験は採用枠$300$名のところ$500$名の応募があった．試験の結果は$500$点満点の試験に対し，平均点$245$点，標準偏差$50$点であった．得点の分布が正規分布であるとみなされるとき，合格最低点はおよそ何点であるか．小数点以下を切り上げて答えよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき，$P(Z>0.25)=0.4$，$P(Z>0.5)=0.3$，$P(Z>0.54)=0.2$とする．

$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が$1$つずつ記入された$5$枚のカードがある．この$5$枚のカードの中から$1$枚引き，数字を記録して戻すという作業を$3$回繰り返す．ただし，$3$回ともどのカードを引く確率も等しいとする．記録した$3$つの数字の最小値を$X$とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して確率$P(X \geqq k)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率分布を表で表せ．
(3)確率変数$X$の平均（期待値）$E(X)$を求めよ．
(4)確率変数$X$の分散$V(X)$を求めよ．