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滋賀医科大学 国立 滋賀医科大学 2016年 第2問
分母が奇数,分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする.例えば$\displaystyle -\frac{1}{3}$,$2$はそれぞれ$\displaystyle \frac{-1}{3},\ \frac{2}{1}$と表せるから,ともに控えめな有理数である.$1$個以上の有限個の控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して,集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$を,
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める.例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから,$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である.

(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ.
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき,$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ.
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ.
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか.ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし,$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第2問
$a$を正の実数とし,数列$\{a_n\}$を次で定義する.
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=1+\frac{2}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき,次の問いに答えよ.

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$をそれぞれ分子と分母が$a$の整式となっている分数式で表せ.
(2)数列$\{b_n\}$を$b_n=(-1)^n a_1 a_2 \cdots a_n$により定めるとき,$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(3)$b_{n+1}$と$b_n$を用いて$b_{n+2}$を表せ.
(4)数列$\{c_n\}$を$c_n=b_{n+1}-b_n$により定めるとき,$n$と$a$を用いて$c_n$を表せ.
(5)$a=1$のとき,$b_n$を$n$を用いて表せ.また,$a_n$を$n$を用いて表せ.
天使大学 私立 天使大学 2016年 第2問
次の問いに答えなさい.

(1)分母と分子が整数である有理数全体の集合を$Q$とおく.さらに$2$以上$4$以下で分母が$15$である$Q$の部分集合を$U$とおく.次の問いに答えなさい.

(i) 分子が$3$の倍数である$U$の要素の個数$N_1$と分子が$5$の倍数である$U$の要素の個数$N_2$を求めなさい.

$N_1=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$ \quad $N_2=\mkakko{$\mathrm{c}$}$

(ii) $U$の要素の中で,既約分数の個数を$N_3$とする.$N_3$を求めなさい.

$N_3=\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}$


(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$,$\angle \mathrm{B}={90}^\circ$とする.直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{AC}$を満たす点$\mathrm{P}$をとり,$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とおく.次の問いに答えなさい.

(i) $\mathrm{BA}>\mathrm{BP}$のとき,$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{f}$}+\mkakko{$\mathrm{g}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{h}$}}$である.
(ii) $\mathrm{BA}<\mathrm{BP}$のとき,$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{i}$}+\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{l}$}}$である.
昭和大学 私立 昭和大学 2014年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)分母が$60$で,分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数(既約分数)は何個あるか.
(2)$3$つのさいころを同時に投げ,出た目の最大値を$m$とするとき,$m=5$となる確率を求めよ.ただし,$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする.このとき,$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ.
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ.
昭和大学 私立 昭和大学 2014年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)分母が$60$で,分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数(既約分数)は何個あるか.
(2)$3$つのさいころを同時に投げ,出た目の最大値を$m$とするとき,$m=5$となる確率を求めよ.ただし,$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする.このとき,$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ.
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2013年 第6問
数列
\[ \{a_n\}:\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6},\ \cdots \]
がある.この数列$\{a_n\}$を
\[ \frac{1}{2} \;\biggl|\; \frac{1}{3},\ \frac{2}{3} \;\biggl|\; \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4} \;\biggl|\; \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5} \;\biggl|\; \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6} \;\biggl|\; \cdots \]
のように群に分けると,第$k$群は,初項$\displaystyle \frac{1}{k+1}$,末項$\displaystyle \frac{k}{k+1}$,公差$\displaystyle \frac{1}{k+1}$の等差数列である.

(1)数列$\{a_n\}$の各項を既約分数で表したとき,分子が$1$となる分数が$4$つ連続して初めて現れるのは,$\displaystyle \frac{1}{[ノ]}$からの$4$つの項である.
(2)数列$\{a_n\}$の第$1$群の初項から,第$m$群の末項までの和は,
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{m}{m+1}=\frac{[ハ]}{[ヒ]}m^{\mkakko{フ}}+\frac{[ヘ]}{[ホ]}m \]
である.
千葉大学 国立 千葉大学 2012年 第4問
$p,\ q$を互いに素な$2$以上の整数,$m,\ n$は$m < n$なる正の整数とする.このとき,分母が$p^2q^2$で,分子が$p$でも$q$でも割り切れない分数のうち,$m$よりも大きく$n$よりも小さいものの総数を求めよ.
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「分子」とは・・・

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