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私立 日本医科大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}=2$，また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である．四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の各問いに答えよ．なお数値の分母は有理化すること．
(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ．
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$n$を$3$で割った余りを$a_n$，$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$（$k$は実数の定数）が与えられているとき，以下の各問いに答えよ．
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ．
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ．
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}=2$，また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である．四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の各問いに答えよ．なお数値の分母は有理化すること．
(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ．
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$n$を$3$で割った余りを$a_n$，$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$（$k$は実数の定数）が与えられているとき，以下の各問いに答えよ．
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ．
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第5問以下の問いに答えなさい．
(1)$x$を自然数とする．このとき，$x^2$を$4$で割ったときの余りは，$x$が偶数のときは$0$であり，$x$が奇数のときは$1$であることを証明しなさい．
(2)自然数の組$(x,\ y)$について，$5x^2+y^2$が$4$の倍数ならば，$x,\ y$はともに偶数であることを証明しなさい．
(3)自然数の組$(x,\ y)$で$5x^2+y^2=2016$を満たすものをすべて求めなさい．
(1)$x$を自然数とする．このとき，$x^2$を$4$で割ったときの余りは，$x$が偶数のときは$0$であり，$x$が奇数のときは$1$であることを証明しなさい．
(2)自然数の組$(x,\ y)$について，$5x^2+y^2$が$4$の倍数ならば，$x,\ y$はともに偶数であることを証明しなさい．
(3)自然数の組$(x,\ y)$で$5x^2+y^2=2016$を満たすものをすべて求めなさい．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問中心の座標が$(1,\ 1)$，半径が$2 \sqrt{2}$である座標平面上の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$t=x+y$とおく．
(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき$t$が取り得る値の範囲は$[$1$][$2$] \leqq t \leqq [$3$][$4$]$である．特に$t=0$のとき，$x^2+y^2=[$5$]$が成り立つ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$xy$の値は$t=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$]}{[$9$]}$をとる．
(3)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$x^3+y^3$の値は$t=[$10$]+\sqrt{[$11$][$12$]}$のとき最大になる．
(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき$t$が取り得る値の範囲は$[$1$][$2$] \leqq t \leqq [$3$][$4$]$である．特に$t=0$のとき，$x^2+y^2=[$5$]$が成り立つ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$xy$の値は$t=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$]}{[$9$]}$をとる．
(3)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$x^3+y^3$の値は$t=[$10$]+\sqrt{[$11$][$12$]}$のとき最大になる．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．
(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．
(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．
(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．
(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．
(1)円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし，中心が原点で，円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．このとき円$C_2$の半径は$[ケ]$である．また$2$つの円$C_1$，$C_2$の共有点の座標は$[コ]$である．
(2)不等式$3^{2x}+1<3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと，$[サ]<x<[シ]$である．
(3)自然数$n$に対して$m \leqq \log_2 n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする．このとき$a_{2016}=[ス]$である．また，自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$[セ]$個あり，そのような$n$のうちで最大のものは$n=[ソ]$である．さらに$\displaystyle \sum_{n=1}^{2016}a_n=[タ]$である．
（ヒント：$2^{10}=1024$）
(1)円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし，中心が原点で，円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．このとき円$C_2$の半径は$[ケ]$である．また$2$つの円$C_1$，$C_2$の共有点の座標は$[コ]$である．
(2)不等式$3^{2x}+1<3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと，$[サ]<x<[シ]$である．
(3)自然数$n$に対して$m \leqq \log_2 n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする．このとき$a_{2016}=[ス]$である．また，自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$[セ]$個あり，そのような$n$のうちで最大のものは$n=[ソ]$である．さらに$\displaystyle \sum_{n=1}^{2016}a_n=[タ]$である．
（ヒント：$2^{10}=1024$）
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{S_n\}$が初項$k$，公比$k$の等比数列であるとする．
\begin{itemize}
$k=3$の場合，$a_n \geqq 5000$を満たすのは$n \geqq [$1$]$のときである．
$a_n$が$100$の倍数となる$n$が存在するような$10$以下の自然数$k$は$[$2$]$つあり，このとき，$a_n$が$100$の倍数となるのは$n \geqq [$3$]$のときである．
\end{itemize}
(2)$\alpha$を$0 \leqq \alpha<2\pi$を満たす定数とする．実数$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲で変化するとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(\sin t,\ \sin (t+\alpha))$の軌跡を$\mathrm{T}$とする．
\begin{itemize}
$\mathrm{T}$が線分となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
$\mathrm{T}$が原点を中心とする円となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
\end{itemize}
(1)$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{S_n\}$が初項$k$，公比$k$の等比数列であるとする．
\begin{itemize}
$k=3$の場合，$a_n \geqq 5000$を満たすのは$n \geqq [$1$]$のときである．
$a_n$が$100$の倍数となる$n$が存在するような$10$以下の自然数$k$は$[$2$]$つあり，このとき，$a_n$が$100$の倍数となるのは$n \geqq [$3$]$のときである．
\end{itemize}
(2)$\alpha$を$0 \leqq \alpha<2\pi$を満たす定数とする．実数$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲で変化するとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(\sin t,\ \sin (t+\alpha))$の軌跡を$\mathrm{T}$とする．
\begin{itemize}
$\mathrm{T}$が線分となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
$\mathrm{T}$が原点を中心とする円となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
\end{itemize}
私立 早稲田大学 2016年 第2問点$\mathrm{F}(0,\ 1)$を通り，直線$y=-1$に接する円の中心が描く軌跡を曲線$C$とする．このとき，曲線$C$を表す方程式は
\[ y=\frac{1}{[ウ]}x^2 \]
となる．また，曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき，曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$[エ] \sqrt{[オ]}$となる．
\[ y=\frac{1}{[ウ]}x^2 \]
となる．また，曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき，曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$[エ] \sqrt{[オ]}$となる．
私立 早稲田大学 2016年 第4問$xy$平面上の原点を中心とする単位円を底面とし，点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 1)$を頂点とする円錐を$\mathrm{K}$とする．$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，円錐$\mathrm{K}$の表面および内部が通過する部分の体積は$\displaystyle \frac{\pi+[ナ]}{[ニ]}$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問$a$を正の実数，$b,\ c$を実数とする．$f(x)=ax^2+bx+c$とし，$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である．
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき，その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である．このとき，直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し，その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である．
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である．この条件が成り立つとき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち，さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは，
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである．このとき，円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち，放物線$y=f(x)$，直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である．
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき，その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である．このとき，直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し，その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である．
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である．この条件が成り立つとき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち，さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは，
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである．このとき，円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち，放物線$y=f(x)$，直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第3問球面$S:x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0$は点$\mathrm{A}([$24$],\ [$25$],\ [$26$])$で$xy$平面と接し，球面$S$と$zx$平面との交わりは中心$\mathrm{B}([$27$],\ [$28$],\ [$29$][$30$])$，半径$\sqrt{[$31$]}$の円である．
球面$S$の中心を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり，$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$（ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$）である．また，三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は，長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である．
球面$S$の中心を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり，$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$（ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$）である．また，三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は，長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である．