「円」について
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(7ページ目:全908問中61問~70問を表示)![日本医科大学](./img/univ/nihonika.png)
次の各問いに答えよ.
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において,$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$,$\mathrm{DA}=2$,また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である.四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$,$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の各問いに答えよ.なお数値の分母は有理化すること.
(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ.
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ.
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ.
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ.
(2)自然数$n$に対して,$n$を$3$で割った余りを$a_n$,$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき,以下の各問いに答えよ.
(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ.
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ.
(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に,次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$($k$は実数の定数)が与えられているとき,以下の各問いに答えよ.
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ.
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ.
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において,$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$,$\mathrm{DA}=2$,また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である.四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$,$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の各問いに答えよ.なお数値の分母は有理化すること.
(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ.
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ.
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ.
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ.
(2)自然数$n$に対して,$n$を$3$で割った余りを$a_n$,$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき,以下の各問いに答えよ.
(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ.
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ.
(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に,次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$($k$は実数の定数)が与えられているとき,以下の各問いに答えよ.
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ.
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
以下の問いに答えなさい.
(1)$x$を自然数とする.このとき,$x^2$を$4$で割ったときの余りは,$x$が偶数のときは$0$であり,$x$が奇数のときは$1$であることを証明しなさい.
(2)自然数の組$(x,\ y)$について,$5x^2+y^2$が$4$の倍数ならば,$x,\ y$はともに偶数であることを証明しなさい.
(3)自然数の組$(x,\ y)$で$5x^2+y^2=2016$を満たすものをすべて求めなさい.
(1)$x$を自然数とする.このとき,$x^2$を$4$で割ったときの余りは,$x$が偶数のときは$0$であり,$x$が奇数のときは$1$であることを証明しなさい.
(2)自然数の組$(x,\ y)$について,$5x^2+y^2$が$4$の倍数ならば,$x,\ y$はともに偶数であることを証明しなさい.
(3)自然数の組$(x,\ y)$で$5x^2+y^2=2016$を満たすものをすべて求めなさい.
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中心の座標が$(1,\ 1)$,半径が$2 \sqrt{2}$である座標平面上の円を$C$とする.$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$t=x+y$とおく.
(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき$t$が取り得る値の範囲は$[$1$][$2$] \leqq t \leqq [$3$][$4$]$である.特に$t=0$のとき,$x^2+y^2=[$5$]$が成り立つ.
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき,$xy$の値は$t=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$]}{[$9$]}$をとる.
(3)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき,$x^3+y^3$の値は$t=[$10$]+\sqrt{[$11$][$12$]}$のとき最大になる.
(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき$t$が取り得る値の範囲は$[$1$][$2$] \leqq t \leqq [$3$][$4$]$である.特に$t=0$のとき,$x^2+y^2=[$5$]$が成り立つ.
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき,$xy$の値は$t=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$]}{[$9$]}$をとる.
(3)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき,$x^3+y^3$の値は$t=[$10$]+\sqrt{[$11$][$12$]}$のとき最大になる.
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次の問いに答えよ.
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり,$x^3$の係数は$1$である.$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り,$x-9$で割ると$12$余る.方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ.$a,\ b$は$1$桁の自然数であり,$i$は虚数単位とする.
ただし$a,\ b$の組み合わせは,$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち,$a-b$が最大となるものとする.このとき,
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると,余りは$[$1$]x-[$2$]$である.
(ii) $a=[$3$]$,$b=[$4$]$であり,方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である.
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある.$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする.
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし,また,$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とする.ただし,$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする.このとき,
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である.
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる.
(3)$xy$平面上に,原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と,$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある.円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき,$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする.ただし$t$は,$t \geqq 0$を満たす実数である.このとき,
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち,$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である.
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である.
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$($\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$)に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする.辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし,線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$,線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする.三角形$\mathrm{AOB}$に対して,自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は,$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす.このとき,
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である.
(ii) $l=17$のとき,$m=[$18$][$19$]$,$n=[$20$]$であり,$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である.
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり,$x^3$の係数は$1$である.$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り,$x-9$で割ると$12$余る.方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ.$a,\ b$は$1$桁の自然数であり,$i$は虚数単位とする.
ただし$a,\ b$の組み合わせは,$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち,$a-b$が最大となるものとする.このとき,
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると,余りは$[$1$]x-[$2$]$である.
(ii) $a=[$3$]$,$b=[$4$]$であり,方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である.
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある.$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする.
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし,また,$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とする.ただし,$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする.このとき,
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である.
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる.
(3)$xy$平面上に,原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と,$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある.円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき,$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする.ただし$t$は,$t \geqq 0$を満たす実数である.このとき,
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち,$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である.
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である.
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$($\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$)に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする.辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし,線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$,線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする.三角形$\mathrm{AOB}$に対して,自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は,$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす.このとき,
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である.
(ii) $l=17$のとき,$m=[$18$][$19$]$,$n=[$20$]$であり,$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい.
(1)円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし,中心が原点で,円$C_1$に外接する円を$C_2$とする.このとき円$C_2$の半径は$[ケ]$である.また$2$つの円$C_1$,$C_2$の共有点の座標は$[コ]$である.
(2)不等式$3^{2x}+1<3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと,$[サ]<x<[シ]$である.
(3)自然数$n$に対して$m \leqq \log_2 n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする.このとき$a_{2016}=[ス]$である.また,自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$[セ]$個あり,そのような$n$のうちで最大のものは$n=[ソ]$である.さらに$\displaystyle \sum_{n=1}^{2016}a_n=[タ]$である.
(ヒント:$2^{10}=1024$)
(1)円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし,中心が原点で,円$C_1$に外接する円を$C_2$とする.このとき円$C_2$の半径は$[ケ]$である.また$2$つの円$C_1$,$C_2$の共有点の座標は$[コ]$である.
(2)不等式$3^{2x}+1<3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと,$[サ]<x<[シ]$である.
(3)自然数$n$に対して$m \leqq \log_2 n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする.このとき$a_{2016}=[ス]$である.また,自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$[セ]$個あり,そのような$n$のうちで最大のものは$n=[ソ]$である.さらに$\displaystyle \sum_{n=1}^{2016}a_n=[タ]$である.
(ヒント:$2^{10}=1024$)
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
以下の問いに答えよ.
(1)$k$を自然数とする.数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき,$\{S_n\}$が初項$k$,公比$k$の等比数列であるとする.
\begin{itemize}
$k=3$の場合,$a_n \geqq 5000$を満たすのは$n \geqq [$1$]$のときである.
$a_n$が$100$の倍数となる$n$が存在するような$10$以下の自然数$k$は$[$2$]$つあり,このとき,$a_n$が$100$の倍数となるのは$n \geqq [$3$]$のときである.
\end{itemize}
(2)$\alpha$を$0 \leqq \alpha<2\pi$を満たす定数とする.実数$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲で変化するとき,座標平面上の点$\mathrm{P}(\sin t,\ \sin (t+\alpha))$の軌跡を$\mathrm{T}$とする.
\begin{itemize}
$\mathrm{T}$が線分となるような$\alpha$の値をすべて記せ.
$\mathrm{T}$が原点を中心とする円となるような$\alpha$の値をすべて記せ.
\end{itemize}
(1)$k$を自然数とする.数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき,$\{S_n\}$が初項$k$,公比$k$の等比数列であるとする.
\begin{itemize}
$k=3$の場合,$a_n \geqq 5000$を満たすのは$n \geqq [$1$]$のときである.
$a_n$が$100$の倍数となる$n$が存在するような$10$以下の自然数$k$は$[$2$]$つあり,このとき,$a_n$が$100$の倍数となるのは$n \geqq [$3$]$のときである.
\end{itemize}
(2)$\alpha$を$0 \leqq \alpha<2\pi$を満たす定数とする.実数$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲で変化するとき,座標平面上の点$\mathrm{P}(\sin t,\ \sin (t+\alpha))$の軌跡を$\mathrm{T}$とする.
\begin{itemize}
$\mathrm{T}$が線分となるような$\alpha$の値をすべて記せ.
$\mathrm{T}$が原点を中心とする円となるような$\alpha$の値をすべて記せ.
\end{itemize}
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
点$\mathrm{F}(0,\ 1)$を通り,直線$y=-1$に接する円の中心が描く軌跡を曲線$C$とする.このとき,曲線$C$を表す方程式は
\[ y=\frac{1}{[ウ]}x^2 \]
となる.また,曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる.線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき,曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$[エ] \sqrt{[オ]}$となる.
\[ y=\frac{1}{[ウ]}x^2 \]
となる.また,曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる.線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき,曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$[エ] \sqrt{[オ]}$となる.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$xy$平面上の原点を中心とする単位円を底面とし,点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 1)$を頂点とする円錐を$\mathrm{K}$とする.$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,円錐$\mathrm{K}$の表面および内部が通過する部分の体積は$\displaystyle \frac{\pi+[ナ]}{[ニ]}$である.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
$a$を正の実数,$b,\ c$を実数とする.$f(x)=ax^2+bx+c$とし,$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする.
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である.
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき,その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である.このとき,直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し,その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である.
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である.この条件が成り立つとき,その接点を$\mathrm{Q}$とする.
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち,さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは,
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである.このとき,円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち,放物線$y=f(x)$,直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である.
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である.
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき,その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である.このとき,直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し,その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である.
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である.この条件が成り立つとき,その接点を$\mathrm{Q}$とする.
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち,さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは,
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである.このとき,円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち,放物線$y=f(x)$,直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
球面$S:x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0$は点$\mathrm{A}([$24$],\ [$25$],\ [$26$])$で$xy$平面と接し,球面$S$と$zx$平面との交わりは中心$\mathrm{B}([$27$],\ [$28$],\ [$29$][$30$])$,半径$\sqrt{[$31$]}$の円である.
球面$S$の中心を$\mathrm{C}$,線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると,$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり,$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$(ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$)である.また,三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は,長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である.
球面$S$の中心を$\mathrm{C}$,線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると,$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり,$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$(ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$)である.また,三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は,長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である.