「円」について
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(2ページ目:全908問中11問~20問を表示)![愛知教育大学](./img/univ/aichikyouiku.png)
点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{AO}$との交点を$\mathrm{M}$とする.$5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っているとき,次の問いに答えよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ.
(2)$\mathrm{BC}$の長さを求めよ.
(3)$\mathrm{BM}$の長さを求めよ.
(4)$\cos \angle \mathrm{BOM}$を求めよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ.
(2)$\mathrm{BC}$の長さを求めよ.
(3)$\mathrm{BM}$の長さを求めよ.
(4)$\cos \angle \mathrm{BOM}$を求めよ.
![愛知教育大学](./img/univ/aichikyouiku.png)
平面上で,半径$r_1$の円$C_1$と半径$r_2$の円$C_2$が,異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わっているとする.線分$\mathrm{PQ}$の垂直二等分線を$\ell$として,円$C_1$と$\ell$の交点のうち円$C_2$の内部にある点を$\mathrm{R}$,円$C_2$と$\ell$の交点のうち円$C_1$の外部にある点を$\mathrm{S}$とする.
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{2},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{6}$のとき,$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ.
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{4}$のとき,$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ.
(3)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\theta_1,\ \angle \mathrm{PSQ}=\theta_2$とするとき,$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を$\theta_1$と$\theta_2$を用いて表せ.
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{2},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{6}$のとき,$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ.
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{4}$のとき,$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ.
(3)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\theta_1,\ \angle \mathrm{PSQ}=\theta_2$とするとき,$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を$\theta_1$と$\theta_2$を用いて表せ.
![九州工業大学](./img/univ/kyushukougyou.png)
原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする.円$C_1$に外接しながら,半径$1$の円$C_2$がすべることなく回転する.円$C_2$の中心を$\mathrm{P}$とし,円$C_2$上の点$\mathrm{Q}$は最初,$x$軸上の点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあるものとする.半直線$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}$からの距離が$2$の点を$\mathrm{R}$とし,$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とする.$C_2$が回転して$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき,点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする.曲線$C$の概形を図$1$に示す.以下の問いに答えよ.
(図は省略)
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする.直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を,$\theta$を用いて表せ.また,$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ.
(6)曲線$C$と$x$軸,$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ.
(図は省略)
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする.直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を,$\theta$を用いて表せ.また,$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ.
(6)曲線$C$と$x$軸,$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ.
![滋賀医科大学](./img/univ/shigaika.png)
$a,\ b$を正の定数とし,$xy$平面上の双曲線
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする.正の実数$r,\ s$に対して,円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える.
(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき,すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき,$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ.
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を,$rs$平面上に図示せよ.
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき,極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ.
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする.正の実数$r,\ s$に対して,円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える.
(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき,すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき,$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ.
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を,$rs$平面上に図示せよ.
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき,極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする.ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする.図で示すように,円$C_1$,$C_2$を以下の$(ⅰ)$~$\tokeishi$で定める.
(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する.
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ.
(図は省略)
(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する.
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ.
(図は省略)
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
複素数平面上を動く点$z$を考える.次の問いに答えよ.
(1)等式$|z-1|=|z+1|$を満たす点$z$の全体は虚軸であることを示せ.
(2)点$z$が原点を除いた虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z}$が描く図形は直線から$1$点を除いたものとなる.この図形を描け.
(3)$a$を正の実数とする.点$z$が虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z-a}$が描く図形は円から$1$点を除いたものとなる.この円の中心と半径を求めよ.
(1)等式$|z-1|=|z+1|$を満たす点$z$の全体は虚軸であることを示せ.
(2)点$z$が原点を除いた虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z}$が描く図形は直線から$1$点を除いたものとなる.この図形を描け.
(3)$a$を正の実数とする.点$z$が虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z-a}$が描く図形は円から$1$点を除いたものとなる.この円の中心と半径を求めよ.
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
座標平面において,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円と放物線$y=\sqrt{2}(x-1)^2$は,ただ$1$つの共有点$(a,\ b)$をもつとする.
(1)$a,\ b,\ r$の値をそれぞれ求めよ.
(2)連立不等式
\[ a \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2}(x-1)^2,\quad x^2+y^2 \geqq r^2 \]
の表す領域を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)$a,\ b,\ r$の値をそれぞれ求めよ.
(2)連立不等式
\[ a \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2}(x-1)^2,\quad x^2+y^2 \geqq r^2 \]
の表す領域を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![群馬大学](./img/univ/gunma.png)
複素数平面の点$\mathrm{A}(1)$を中心とし,原点を通る円を$C$とする.また,$\mathrm{P}(z)$,$\mathrm{Q}(w)$を円$C$上を動く点とし,$\displaystyle 0<\arg{z}<\arg{w}<\frac{\pi}{2}$とする.さらに,$\displaystyle R=\frac{z(w-2)}{w(z-2)}$とおく.
(1)$R$は$R>1$を満たす実数であることを示せ.
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$のときの$R$の最小値を求めよ.
(1)$R$は$R>1$を満たす実数であることを示せ.
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$のときの$R$の最小値を求めよ.
![群馬大学](./img/univ/gunma.png)
$0<\theta<\pi$とする.単位円の周上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta)$,$\mathrm{C}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ.また,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ.
![香川大学](./img/univ/kagawa.png)
平面上の三角形$\mathrm{ABC}$は,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=3$,$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$を満たしているとする.また,平面上の動点$\mathrm{P}$に対し実数$f(\mathrm{P})$を
\[ f(\mathrm{P})=\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} \]
で定める.このとき,次の問に答えよ.
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき,$f(\mathrm{G})$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle f(\mathrm{P})=\frac{8}{3}$となる点$\mathrm{P}$の全体は円になることを示せ.
(3)点$\mathrm{P}$が平面全体を動くとき,$f(\mathrm{P})$のとりうる値の範囲を求めよ.
\[ f(\mathrm{P})=\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} \]
で定める.このとき,次の問に答えよ.
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき,$f(\mathrm{G})$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle f(\mathrm{P})=\frac{8}{3}$となる点$\mathrm{P}$の全体は円になることを示せ.
(3)点$\mathrm{P}$が平面全体を動くとき,$f(\mathrm{P})$のとりうる値の範囲を求めよ.