「内積」について
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国立 山形大学 2016年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AC}=2$とする．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AC}=2$とする．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AC}=2$とする．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AC}=2$とする．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ．
国立 群馬大学 2016年 第5問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\mathrm{AB}=4$とする．$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点とし，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{OB}$上の点で線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$が垂直になるものとする．また，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}$を求めよ．
(4)$\mathrm{OR}:\mathrm{RP}$を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}$を求めよ．
(4)$\mathrm{OR}:\mathrm{RP}$を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．また，四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第2問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき，
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第2問一辺の長さ$1$の正五角形$\mathrm{OABCD}$について，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{DC}$は平行である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{x},\quad \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{y},\quad \overrightarrow{\mathrm{DC}}=k \overrightarrow{b} \quad (k \text{は実数}) \]
とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$k$の値を求め，$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$を，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$の内積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{x},\quad \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{y},\quad \overrightarrow{\mathrm{DC}}=k \overrightarrow{b} \quad (k \text{は実数}) \]
とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$k$の値を求め，$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$を，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$の内積を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AD}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{3}$を満たしているとする．直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD} \perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AD}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{3}$を満たしているとする．直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD} \perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．