以下の各問に答えよ．

(1)$0$でない$2$つの実数$a,\ b$が$a+b+1=0$を満たすとき，$\displaystyle \frac{b^2}{a}+\frac{1}{ab}+\frac{a^2}{b}$の値を求めよ．
(2)$x$の$3$次方程式$x^3-(m+1)x^2-x+m+1=0$が異なる$3$つの実数解をもつとする．これら$3$つの実数解からなる数列が公差$2$の等差数列となるような定数$m$の値をすべて求めよ．
(3)${21}^{2015}$を$400$で割ったときの余りを求めよ．

$p,\ q$を自然数として，$p>q$とする．等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\displaystyle S_p=\frac{p}{q}$，$\displaystyle S_q=\frac{q}{p}$が成り立つとする．次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の初項と公差を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)自然数$m$に対して，数列$\{a_n\}$の初項から第$2^m$項までの和の逆数を$b_m$とする．このとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{b_n\}$の初項が$36$であり，数列$\{a_n\}$の第$p+q$項が$\displaystyle \frac{17}{48}$であるとき，$p$と$q$を求めよ．

初項$1$，公差$3$の等差数列$\{a_n\}$と，一般項が$\displaystyle b_n=\left[ \frac{2n+2}{3} \right]$で与えられる数列$\{b_n\}$がある．ここで，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．たとえば，$\displaystyle b_1=\left[ \frac{4}{3} \right]=1$，$b_2=[2]=2$，$\displaystyle b_3=\left[ \frac{8}{3} \right]=2$である．数列$\{a_n\}$を次のように，$b_1$個，$b_2$個，$b_3$個，$\cdots$の群に分け，第$k$群には$b_k$個の数が入るようにする．

$\big| \quad a_1 \quad \big| \quad a_2,\ a_3 \quad \big| \quad a_4,\ a_5 \quad \big| \quad a_6,\ \cdots$
\ 第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad\ 第$3$群 \qquad $\cdots$

第$k$群の最初の数を$c_k$とする．次に答えよ．

(1)自然数$m$に対して，$b_{3m-2}$，$b_{3m-1}$，$b_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{b_n\}$の初項から第$3m$項までの和$S_{3m}$を求めよ．
(2)自然数$m$に対して，$c_{3m-2}$，$c_{3m-1}$，$c_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{c_k\}$の初項から第$3m$項までの和$T_{3m}$を求めよ．
(3)$1000$は第何群の何番目の数か．
(4)$x \geqq 1$のとき$\displaystyle \sqrt{x^2+1}<x+\frac{1}{2}$であることを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．ただし，$m$は自然数とする．
\[ \sum_{k=1}^{3m} (\sqrt{c_k}-k)<\frac{m}{2} \]

$p,\ q$を自然数として，$p>q$とする．等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\displaystyle S_p=\frac{p}{q}$，$\displaystyle S_q=\frac{q}{p}$が成り立つとする．次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の初項と公差を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)自然数$m$に対して，数列$\{a_n\}$の初項から第$2^m$項までの和の逆数を$b_m$とする．このとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{b_n\}$について無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和が$48$であり，数列$\{a_n\}$の第$p+q$項が$\displaystyle \frac{17}{48}$であるとき，$p$と$q$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は初項が$a_1=1$，公差が正の定数$d$の等差数列とする．このとき，自然数の定数$p$を用いて
\[ b_n=a_na_{n+p} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定まる数列$\{b_n\}$について考える．ただし，$a_na_{n+p}$は$a_n$と$a_{n+p}$の積を表す．以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$が等差数列であることを示せ．さらに，数列$\{c_n\}$の初項$c_1$と公差$D$を$d,\ p$を用いて表せ．
(2)ある定数$C$を用いて
\[ \frac{1}{b_n}=C \left( \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+p}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と表すことができる．このとき，$C$を$d,\ p$を用いて表せ．
以下の問いでは，数列$\{b_n\}$が初項から順に
\[ b_1=7,\quad b_2=40,\quad b_3=91,\ \cdots \]
となる場合を考える．
(3)定数$d,\ p$および数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(4)数列$\{b_n\}$に対して，
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項$5 \log_2 3$，公差$\displaystyle -\frac{1}{2} \log_2 3-\frac{1}{2}$の等差数列とする．このとき，

(1)$\displaystyle a_{10}=\frac{[ア]}{[イ]} \log_2 3-\frac{[ウ]}{[エ]},\quad a_{11}=-[オ]$
である．
(2)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=2^{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めると，これは初項$[カ][キ][ク]$，公比$\displaystyle \frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]}$の等比数列となる．
(3)数列$\{a_n\}$はある$n$より先は負となる．$a_n$が負となる最初の$n$は$[サ]$である．

次の各設問に答えよ．

(1)数列$10,\ 22,\ 41,\ 74,\ \cdots$は，初項が$[ア]$，公差が$[イ]$の等差数列と，初項が$[ウ]$，公比が$[エ]$の等比数列の和で表すことができる．
(2)$a,\ b$を正の実数として，$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(a,\ 8)$，$\mathrm{Q}(b,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{OPQ}={90}^\circ$の三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は，$a=[オ]$，$b=[カキ]$のとき，最小値$[クケ]$をとる．

等差数列$\{a_n\}$が，$a_{15}+a_{23}=-240$，$a_{19}+a_{20}+a_{21}=-318$を満たしている．このとき，公差は$[ウエ]$であり，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$は$n=[オカ]$のとき最小となる．

$p$を定数とする．等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=pn^2-8pn+p+4 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表される．このとき，$p=[ホマ]$である．また，$\{a_n\}$の初項は$[ミム]$，公差は$[メモ]$であり，$S_n$は$n=[ヤ]$のとき最大となる．

次の問に答えよ．

(1)初項$\log_{10}5$，公差$\log_{10}3$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．さらに，$a_n<4$をみたす最大の自然数$n$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x-3}{x-2}$に対し，合成関数$f(f(f(x)))$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．