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私立 慶應義塾大学 2015年 第2問半径$1$の円周上に$8$個の点があり，それぞれの点は隣り合う点とすべて等間隔に配置されている．それらの点には，反時計回りに$1$から$8$までの番号が順番についている．また，中の見えない袋の中に，$8$個の球が入っていて，それらの球には，$1$から$8$の番号が$1$つずつ書かれている．
(1)袋から同時に$3$つの球を取り出すとき，取り出した球と同じ番号のついた円周上の$3$点を頂点とする三角形の作り方は，全部で$[$17$][$18$]$通りある．このとき，作られた三角形の面積と，その面積が得られる確率の一覧表を作ることができる．以下の表を，上から下に面積の小さい順に並べて完成させなさい．
\begin{tabular}{cl}
\hline
面積 & 確率 \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$19$]}-[$20$]}{[$21$]}$ & $\displaystyle\frac{[$22$]}{[$23$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{[$24$]}{[$25$]}$ & $\displaystyle\frac{[$26$]}{[$27$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$28$]}}{[$29$]}$ & $\displaystyle\frac{[$30$]}{[$31$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $[$32$]$ & $\displaystyle\frac{[$33$]}{[$34$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$35$]}+[$36$]}{[$37$]}$ & $\displaystyle\frac{[$38$]}{[$39$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\end{tabular}
(2)袋から同時に$4$つの球を取り出すとき，取り出した球と同じ番号のついた円周上の$4$点を頂点とする四角形の作り方は，全部で$[$40$][$41$]$通りある．このとき，作られた四角形の面積と，その面積が得られる確率の一覧表を作ることができる．以下の表を，上から下に面積の小さい順に並べて完成させなさい．
\begin{tabular}{cl}
\hline
面積 & 確率 \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$42$]}}{[$43$]}$ & $\displaystyle\frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$47$]}+[$48$]}{[$49$]}$ & $\displaystyle\frac{[$50$][$51$]}{[$52$][$53$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\sqrt{[$54$]}$ & $\displaystyle\frac{[$55$]}{[$56$][$57$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$58$]}+[$59$]}{[$60$]}$ & $\displaystyle\frac{[$61$][$62$]}{[$63$][$64$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $[$65$]$ & $\displaystyle\frac{[$66$]}{[$67$][$68$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\end{tabular}
(1)袋から同時に$3$つの球を取り出すとき，取り出した球と同じ番号のついた円周上の$3$点を頂点とする三角形の作り方は，全部で$[$17$][$18$]$通りある．このとき，作られた三角形の面積と，その面積が得られる確率の一覧表を作ることができる．以下の表を，上から下に面積の小さい順に並べて完成させなさい．
\begin{tabular}{cl}
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面積 & 確率 \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$19$]}-[$20$]}{[$21$]}$ & $\displaystyle\frac{[$22$]}{[$23$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{[$24$]}{[$25$]}$ & $\displaystyle\frac{[$26$]}{[$27$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$28$]}}{[$29$]}$ & $\displaystyle\frac{[$30$]}{[$31$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $[$32$]$ & $\displaystyle\frac{[$33$]}{[$34$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$35$]}+[$36$]}{[$37$]}$ & $\displaystyle\frac{[$38$]}{[$39$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\end{tabular}
(2)袋から同時に$4$つの球を取り出すとき，取り出した球と同じ番号のついた円周上の$4$点を頂点とする四角形の作り方は，全部で$[$40$][$41$]$通りある．このとき，作られた四角形の面積と，その面積が得られる確率の一覧表を作ることができる．以下の表を，上から下に面積の小さい順に並べて完成させなさい．
\begin{tabular}{cl}
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面積 & 確率 \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$42$]}}{[$43$]}$ & $\displaystyle\frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$47$]}+[$48$]}{[$49$]}$ & $\displaystyle\frac{[$50$][$51$]}{[$52$][$53$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\sqrt{[$54$]}$ & $\displaystyle\frac{[$55$]}{[$56$][$57$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$58$]}+[$59$]}{[$60$]}$ & $\displaystyle\frac{[$61$][$62$]}{[$63$][$64$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $[$65$]$ & $\displaystyle\frac{[$66$]}{[$67$][$68$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\end{tabular}
私立 上智大学 2015年 第3問$1$個のさいころを$2$回投げ，$1$回目に出た目を$m$，$2$回目に出た目を$n$とする．ここで，さいころの$1$から$6$までのそれぞれの目が出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$である．
さいころの出た目にもとづいて，座標平面に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( \cos \frac{n\pi}{m},\ \sin \frac{n\pi}{m} \right)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$をとり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．ただし，点$\mathrm{B}$が点$\mathrm{A}$または点$\mathrm{C}$と一致する場合は$S=0$とする．
(1)$S$がとりうる値は，$0$を含めて全部で$[マ]$通りある．
(2)$S$がとりうる値のうち，小さい方から$k$番目の値を$s_k$とする．
このとき，$s_1=0$，$\displaystyle s_2=\frac{[ミ]+\sqrt{[ム]}}{[メ]}$，$\displaystyle s_4=\frac{\sqrt{[モ]}}{[ヤ]}$である．また，$S=s_2$となる確率は$\displaystyle \frac{[ユ]}{[ヨ]}$，$S=s_4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ラ]}{[リ]}$である．
さいころの出た目にもとづいて，座標平面に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( \cos \frac{n\pi}{m},\ \sin \frac{n\pi}{m} \right)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$をとり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．ただし，点$\mathrm{B}$が点$\mathrm{A}$または点$\mathrm{C}$と一致する場合は$S=0$とする．
(1)$S$がとりうる値は，$0$を含めて全部で$[マ]$通りある．
(2)$S$がとりうる値のうち，小さい方から$k$番目の値を$s_k$とする．
このとき，$s_1=0$，$\displaystyle s_2=\frac{[ミ]+\sqrt{[ム]}}{[メ]}$，$\displaystyle s_4=\frac{\sqrt{[モ]}}{[ヤ]}$である．また，$S=s_2$となる確率は$\displaystyle \frac{[ユ]}{[ヨ]}$，$S=s_4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ラ]}{[リ]}$である．
私立 東京理科大学 2015年 第5問$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ 3$に対して，次の条件$\mathrm{P}_k$を考える．
$\mathrm{P}_k: \quad k \leqq r \leqq n-k$を満たすすべての自然数$r$に対して，$\comb{n}{r}$は偶数である．
(1)$2 \leqq n \leqq 20$，$k=1$とする．$\mathrm{P}_1$を満たす$n$は全部で$[ア]$個ある．このうち，最大のものは$[イ][ウ]$である．
(2)$4 \leqq n \leqq 1000$，$k=2$とする．$\mathrm{P}_2$を満たす$n$は全部で$[エ][オ]$個ある．このうち，最大のものは$[カ][キ][ク]$である．
(3)$6 \leqq n \leqq {10}^{16}$，$k=3$とする．$\mathrm{P}_3$を満たす$n$は全部で$[ケ][コ][サ]$個ある．
（注意：$0.3010<\log_{10}2<0.3011$）
$\mathrm{P}_k: \quad k \leqq r \leqq n-k$を満たすすべての自然数$r$に対して，$\comb{n}{r}$は偶数である．
(1)$2 \leqq n \leqq 20$，$k=1$とする．$\mathrm{P}_1$を満たす$n$は全部で$[ア]$個ある．このうち，最大のものは$[イ][ウ]$である．
(2)$4 \leqq n \leqq 1000$，$k=2$とする．$\mathrm{P}_2$を満たす$n$は全部で$[エ][オ]$個ある．このうち，最大のものは$[カ][キ][ク]$である．
(3)$6 \leqq n \leqq {10}^{16}$，$k=3$とする．$\mathrm{P}_3$を満たす$n$は全部で$[ケ][コ][サ]$個ある．
（注意：$0.3010<\log_{10}2<0.3011$）
私立 早稲田大学 2015年 第1問$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)数列$\{a_n\}$は，次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす．
(i) $a_1=0,\quad a_n \leqq 0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$
(ii) $\displaystyle n=\int_{a_n}^{a_{n+1}} \left( x+\frac{1}{2} \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$のとき，$a_n=[ア]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^7 \log_2 \cos \frac{k\pi}{16}=[イ]$
(3)実数$x,\ y$が，$|x|+|y|=1$を満たしているとき，
\[ |7x-3y|+|5x-11y| \]
の最大値は$[ウ]$である．
(4)関数$f(x)=1-2 |x|$を考える．次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす実数$a$は全部で$[エ]$個ある．
(i) $f(a) \neq a$
(ii) $f(f(f(a)))=a$
(1)数列$\{a_n\}$は，次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす．
(i) $a_1=0,\quad a_n \leqq 0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$
(ii) $\displaystyle n=\int_{a_n}^{a_{n+1}} \left( x+\frac{1}{2} \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$のとき，$a_n=[ア]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^7 \log_2 \cos \frac{k\pi}{16}=[イ]$
(3)実数$x,\ y$が，$|x|+|y|=1$を満たしているとき，
\[ |7x-3y|+|5x-11y| \]
の最大値は$[ウ]$である．
(4)関数$f(x)=1-2 |x|$を考える．次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす実数$a$は全部で$[エ]$個ある．
(i) $f(a) \neq a$
(ii) $f(f(f(a)))=a$
私立 沖縄国際大学 2015年 第4問下図のような街路で自宅からバス停まで最短距離で行くとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
（図は省略）
(1)全部で行き方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$交差点を通る行き方は何通りあるか．
(3)コンビニの前を通らない行き方は何通りあるか．
(4)$\mathrm{A}$交差点を通り，コンビニの前を通らない行き方は何通りあるか．
（図は省略）
(1)全部で行き方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$交差点を通る行き方は何通りあるか．
(3)コンビニの前を通らない行き方は何通りあるか．
(4)$\mathrm{A}$交差点を通り，コンビニの前を通らない行き方は何通りあるか．
私立 獨協医科大学 2015年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)定数$a$を正の実数とする．関数
\[ f(\theta)=4 \sin 2\theta+6 \cos^2 \theta+4a(\sin \theta+2 \cos \theta)+a^2+1 \]
の$0 \leqq \theta \leqq \pi$における最大値を$M$，最小値を$m$とする．
$t=\sin \theta+2 \cos \theta$とおく．$f(\theta)$を$t$を用いて表すと
\[ f(\theta)=[ア]t^2+4at+a^2-[イ] \]
である．
$M=a^2+[ウ] \sqrt{[エ]}a+[オ]$であり，これを与える$\theta$の値を$\theta_0$とすると，$\displaystyle \tan \theta_0=\frac{[カ]}{[キ]}$である．
また，$M-m=14$となる$a$の値は，$a=\sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]}$である．
(2)定数$m$を正の整数とする．
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(21,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ m)$がある．点$(1,\ 0)$と直線$\mathrm{AB}$との距離を$d$とすると
\[ d=\frac{[コサ]m}{\sqrt{m^2+[シスセ]}} \]
である．
$d$が有理数となるような$m$の値は全部で$[ソ]$個あり，そのうち$m$の値が最大のものは$m=[タチツ]$である．
また，$d$が整数となるとき，$m=[テト]$，$d=[ナニ]$である．
(1)定数$a$を正の実数とする．関数
\[ f(\theta)=4 \sin 2\theta+6 \cos^2 \theta+4a(\sin \theta+2 \cos \theta)+a^2+1 \]
の$0 \leqq \theta \leqq \pi$における最大値を$M$，最小値を$m$とする．
$t=\sin \theta+2 \cos \theta$とおく．$f(\theta)$を$t$を用いて表すと
\[ f(\theta)=[ア]t^2+4at+a^2-[イ] \]
である．
$M=a^2+[ウ] \sqrt{[エ]}a+[オ]$であり，これを与える$\theta$の値を$\theta_0$とすると，$\displaystyle \tan \theta_0=\frac{[カ]}{[キ]}$である．
また，$M-m=14$となる$a$の値は，$a=\sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]}$である．
(2)定数$m$を正の整数とする．
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(21,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ m)$がある．点$(1,\ 0)$と直線$\mathrm{AB}$との距離を$d$とすると
\[ d=\frac{[コサ]m}{\sqrt{m^2+[シスセ]}} \]
である．
$d$が有理数となるような$m$の値は全部で$[ソ]$個あり，そのうち$m$の値が最大のものは$m=[タチツ]$である．
また，$d$が整数となるとき，$m=[テト]$，$d=[ナニ]$である．
私立 大阪工業大学 2015年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．
(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．
私立 旭川大学 2015年 第1問次の各設問に答えなさい．
(1)$\displaystyle 3+\frac{n-2}{2}<\frac{n}{3}$を満たす最大の整数$n$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．ただし$a \neq 0$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$(-1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(3,\ -6)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$桁の整数は全部で$[ア]$通りであり，その中で$2015$以下の整数は$[イ]$通りである．ただし，同じ数字は繰り返し使わないものとする．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}$である．このとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(5)方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．
(1)$\displaystyle 3+\frac{n-2}{2}<\frac{n}{3}$を満たす最大の整数$n$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．ただし$a \neq 0$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$(-1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(3,\ -6)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$桁の整数は全部で$[ア]$通りであり，その中で$2015$以下の整数は$[イ]$通りである．ただし，同じ数字は繰り返し使わないものとする．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}$である．このとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(5)方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．
私立 天使大学 2015年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人を含む$5$人でじゃんけんを$1$回行う．$5$人の手（グー・チョキ・パー）の出し方の組み合わせは，同様に確からしいとする．
(i) $\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に「グー」で勝つ確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{a}$}}{\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$} \mkakko{$\mathrm{d}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{a}$}$は正の数である．
(ii) $\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{e}$}}{\mkakko{$\mathrm{f}$} \mkakko{$\mathrm{g}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{e}$}$は正の数である．
(2)$5$人の男性と$5$人の女性で，$2$人のグループを$5$組つくる．
(i) グループのつくり方は，全部で$\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$}$通りある．
(ii) 組み合わせをクジで決めるとする．女性の入らない組が少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{k}$}$は正の数である．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人を含む$5$人でじゃんけんを$1$回行う．$5$人の手（グー・チョキ・パー）の出し方の組み合わせは，同様に確からしいとする．
(i) $\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に「グー」で勝つ確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{a}$}}{\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$} \mkakko{$\mathrm{d}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{a}$}$は正の数である．
(ii) $\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{e}$}}{\mkakko{$\mathrm{f}$} \mkakko{$\mathrm{g}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{e}$}$は正の数である．
(2)$5$人の男性と$5$人の女性で，$2$人のグループを$5$組つくる．
(i) グループのつくり方は，全部で$\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$}$通りある．
(ii) 組み合わせをクジで決めるとする．女性の入らない組が少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{k}$}$は正の数である．
私立 西南学院大学 2015年 第1問男子$4$人，女子$4$人の合計$8$人のメンバーがいる．以下の問に答えよ．
(1)$8$人を同性$2$人から成る$4$つのグループに分け，さらにこのグループを，先頭から男子グループ，女子グループ，男子グループ，女子グループの順に並べる方法は全部で$[アイ]$通りある．
(2)くじ引きで，男女ペアから成る$4$つのグループを作る．このときメンバーの$1$人である自分が，ある特定の異性と同じグループになる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)くじ引きで，$2$人ずつ$4$つのグループを作る．このとき同性同士のグループが少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キク]}$である．
(1)$8$人を同性$2$人から成る$4$つのグループに分け，さらにこのグループを，先頭から男子グループ，女子グループ，男子グループ，女子グループの順に並べる方法は全部で$[アイ]$通りある．
(2)くじ引きで，男女ペアから成る$4$つのグループを作る．このときメンバーの$1$人である自分が，ある特定の異性と同じグループになる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)くじ引きで，$2$人ずつ$4$つのグループを作る．このとき同性同士のグループが少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キク]}$である．