「偶数」について
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国立 宮崎大学 2015年 第5問$n$を$2$以上の自然数とする．$1$つの袋に$1$から$n$までの数を$1$つずつ書いた$n$個の球と，数$0$を書いた$2$個の球が入っている．これら$(n+2)$個の球が入っている袋から，元に戻すことなく，$1$個ずつ$3$回球を取り出し，その$3$個に書かれている数を取り出した順に$a,\ b,\ c$とする．事象$a+b \leqq c$の起こる確率を$P(n)$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$P(3)$を求めよ．
(2)$n$を偶数とするとき，$P(n)$を，$n$を用いて表せ．
(1)$P(3)$を求めよ．
(2)$n$を偶数とするとき，$P(n)$を，$n$を用いて表せ．
国立 愛媛大学 2015年 第3問$a$を実数とし，数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$を
\[ \begin{array}{ll}
a_1=a, & a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+1 & (n \text{が奇数のとき}) \\
2a_n & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \\
b_1=a, & b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
2b_n & (n \text{が奇数のとき}) \\
b_n+1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \phantom{\frac{\frac{[ ]^{[ ]}}{2}}{2}}
\end{array} \]
で定める．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$，および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$，および$\{U_n\}$をそれぞれ
\[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \]
で定める．
(i) $\{S_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$\{U_n\}$の一般項を求めよ．
\[ \begin{array}{ll}
a_1=a, & a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+1 & (n \text{が奇数のとき}) \\
2a_n & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \\
b_1=a, & b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
2b_n & (n \text{が奇数のとき}) \\
b_n+1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \phantom{\frac{\frac{[ ]^{[ ]}}{2}}{2}}
\end{array} \]
で定める．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$，および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$，および$\{U_n\}$をそれぞれ
\[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \]
で定める．
(i) $\{S_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$\{U_n\}$の一般項を求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第2問$a$を実数とし，数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$を
\[ \begin{array}{ll}
a_1=a, & a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+1 & (n \text{が奇数のとき}) \\
2a_n & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \\
b_1=a, & b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
2b_n & (n \text{が奇数のとき}) \\
b_n+1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \phantom{\frac{\frac{[ ]^{[ ]}}{2}}{2}}
\end{array} \]
で定める．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$，および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$，および$\{U_n\}$をそれぞれ
\[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \]
で定める．
(i) $\{S_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$\{U_n\}$の一般項を求めよ．
\[ \begin{array}{ll}
a_1=a, & a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+1 & (n \text{が奇数のとき}) \\
2a_n & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \\
b_1=a, & b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
2b_n & (n \text{が奇数のとき}) \\
b_n+1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \phantom{\frac{\frac{[ ]^{[ ]}}{2}}{2}}
\end{array} \]
で定める．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$，および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$，および$\{U_n\}$をそれぞれ
\[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \]
で定める．
(i) $\{S_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$\{U_n\}$の一般項を求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第1問$n$を$1$以上の整数とする．袋の中に，$1$の数字を書いたカードが$1$枚，$2$の数字を書いたカードが$2$枚，$3$の数字を書いたカードが$3$枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第1問$n$を$1$以上の整数とする．袋の中に，$1$の数字を書いたカードが$1$枚，$2$の数字を書いたカードが$2$枚，$3$の数字を書いたカードが$3$枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
国立 山口大学 2015年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)$a,\ b,\ c$を整数とする．$a+b+c$が偶数ならば$a,\ b,\ c$の少なくとも$1$つは偶数であることを示しなさい．
(2)整数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{27}$を適当に並べ替えたものを$b_1,\ b_2,\ b_3,\ \cdots,\ b_{27}$とする．
(i) 積$(a_1+b_1) \cdot (a_2+b_2) \cdot (a_3+b_3) \cdot \cdots \cdot (a_{27}+b_{27})$は偶数であることを示しなさい．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=1}^{27} a_k=S$とする．整数$p,\ q$が$p+q+1=S$を満たすとき，積
\[ (pa_1+qb_1) \cdot (pa_2+qb_2) \cdot (pa_3+qb_3) \cdot \cdots \cdot (pa_{27}+qb_{27}) \]
は偶数であるか奇数であるかを理由を付けて答えなさい．
(1)$a,\ b,\ c$を整数とする．$a+b+c$が偶数ならば$a,\ b,\ c$の少なくとも$1$つは偶数であることを示しなさい．
(2)整数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{27}$を適当に並べ替えたものを$b_1,\ b_2,\ b_3,\ \cdots,\ b_{27}$とする．
(i) 積$(a_1+b_1) \cdot (a_2+b_2) \cdot (a_3+b_3) \cdot \cdots \cdot (a_{27}+b_{27})$は偶数であることを示しなさい．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=1}^{27} a_k=S$とする．整数$p,\ q$が$p+q+1=S$を満たすとき，積
\[ (pa_1+qb_1) \cdot (pa_2+qb_2) \cdot (pa_3+qb_3) \cdot \cdots \cdot (pa_{27}+qb_{27}) \]
は偶数であるか奇数であるかを理由を付けて答えなさい．
私立 日本女子大学 2015年 第4問$n$を自然数とする．白玉$4$個と赤玉$8$個が入っている袋から，玉を$1$個取り出し，色を見てからもとにもどす試行を$n$回繰り返すとき，白玉が偶数回出る確率を$p_n$とする．ただし，$0$は偶数と考える．
(1)$p_{n+1}$を$p_n$で表せ．
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n$を求めよ．
(1)$p_{n+1}$を$p_n$で表せ．
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n$を求めよ．
私立 北里大学 2015年 第4問自然数$2520$の正の約数の個数は$[ケ]$である．次に，自然数$2520$について，$2520=ABC$となる$3$つの自然数$A,\ B,\ C$の選び方を考える．$3$つの自然数がすべて偶数であるような選び方は$[コ]$通りある．また，$3$つの自然数がすべて$20$以下であるような選び方は$[サ]$通りある．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．
$A$を与えられた自然数として，
\[ a_1=3A,\quad a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n-2 & (n \text{が奇数のとき}) \\
a_n-1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \]
によって定まる数列$\{a_n\}$を考える．
(1)$a_5,\ a_6$を$A$を用いて表すと，$a_5=[チ]$，$a_6=[ツ]$である．また一般に，$a_n$を$n$と$A$を用いて表すと，
\[ a_n=\left\{ \begin{array}{ll}
[テ] & (n \text{が奇数のとき}) \\
[ト] & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \]
となる．
(2)$a_n>0$となる最大の自然数$n$を$N$とする．$N$を$A$を用いて表すと$N=[ナ]$であり，また$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n=[ニ]$である．
$A$を与えられた自然数として，
\[ a_1=3A,\quad a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n-2 & (n \text{が奇数のとき}) \\
a_n-1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \]
によって定まる数列$\{a_n\}$を考える．
(1)$a_5,\ a_6$を$A$を用いて表すと，$a_5=[チ]$，$a_6=[ツ]$である．また一般に，$a_n$を$n$と$A$を用いて表すと，
\[ a_n=\left\{ \begin{array}{ll}
[テ] & (n \text{が奇数のとき}) \\
[ト] & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \]
となる．
(2)$a_n>0$となる最大の自然数$n$を$N$とする．$N$を$A$を用いて表すと$N=[ナ]$であり，また$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n=[ニ]$である．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．