「交点」について
タグ「交点」の検索結果
(6ページ目:全1364問中51問~60問を表示)![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
![京都工芸繊維大学](./img/univ/kyotokousen.png)
空間内の平面$\alpha$上に平行四辺形$\mathrm{OABC}$があり,
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする.点$\mathrm{C}$を通り$\alpha$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり,
\[ \mathrm{CD}=1 \]
とする.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{D}$を通る平面を$\beta$とし,$\mathrm{C}$を通り$\beta$に垂直な直線と$\beta$との交点を$\mathrm{H}$とする.
(1)$\triangle \mathrm{OBD}$の面積を求めよ.
(2)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ.
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする.点$\mathrm{C}$を通り$\alpha$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり,
\[ \mathrm{CD}=1 \]
とする.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{D}$を通る平面を$\beta$とし,$\mathrm{C}$を通り$\beta$に垂直な直線と$\beta$との交点を$\mathrm{H}$とする.
(1)$\triangle \mathrm{OBD}$の面積を求めよ.
(2)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
次の各問いに答えよ.
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする.$\mathrm{AB}=6$,$\mathrm{BC}=5$,$\mathrm{BD}=3$のとき,辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ.
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき,$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ.
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ.
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする.$\mathrm{AB}=6$,$\mathrm{BC}=5$,$\mathrm{BD}=3$のとき,辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ.
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき,$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ.
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ.
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
円上の$5$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$は反時計回りにこの順に並び,円周を$5$等分している.$5$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_1$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{c}$とおき,$\overrightarrow{a}$の大きさを$x$とする.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさを$y$とするとき,$x^2=y(y-x)$がなりたつことを示せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{R}_1$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_1$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_2$とする.$\mathrm{R}_2$の一辺の長さを$x$を用いて表せ.
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$\mathrm{R}_n$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_n$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_{n+1}$とし,$\mathrm{R}_n$の面積を$S_n$とする.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k \]
を求めよ.
(図は省略)
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさを$y$とするとき,$x^2=y(y-x)$がなりたつことを示せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{R}_1$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_1$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_2$とする.$\mathrm{R}_2$の一辺の長さを$x$を用いて表せ.
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$\mathrm{R}_n$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_n$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_{n+1}$とし,$\mathrm{R}_n$の面積を$S_n$とする.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k \]
を求めよ.
(図は省略)
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
四面体$\mathrm{OABC}$を考える.辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とする.また辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$として,辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする.さらに三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る平面と線分$\mathrm{OG}$の交点を$\mathrm{K}$とする.線分$\mathrm{OK}$と$\mathrm{KG}$の長さの比を求めよ.
![弘前大学](./img/univ/hirosaki.png)
$k$を実数とする.放物線$C:y=-2x^2$と直線$\ell:y=kx-2$の交点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$,点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$としたとき,$\alpha+\beta$と$\alpha\beta$の値を$k$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ引き,その交点を$\mathrm{R}$とする.$k$がすべての実数を動くとき,点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ.
(1)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$,点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$としたとき,$\alpha+\beta$と$\alpha\beta$の値を$k$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ引き,その交点を$\mathrm{R}$とする.$k$がすべての実数を動くとき,点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ.
![弘前大学](./img/univ/hirosaki.png)
三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$の比に内分する点を$\mathrm{X}$,辺$\mathrm{OB}$を$y:(1-y)$の比に内分する点を$\mathrm{Y}$とする.ただし$0<x<1$,$0<y<1$とする.線分$\mathrm{YA}$と線分$\mathrm{XB}$の交点を$\mathrm{Z}$とする.
(1)点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{XB}$を$s:(1-s)$の比に内分しているとする.$s$を$x$と$y$を用いて表せ.
(2)辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$,辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$とする.点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{CD}$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ.
(1)点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{XB}$を$s:(1-s)$の比に内分しているとする.$s$を$x$と$y$を用いて表せ.
(2)辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$,辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$とする.点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{CD}$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ.
![高知大学](./img/univ/kouchi.png)
$0<k<1$,$0<l<1$とする.鋭角三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{OB}$を$l:(1-l)$に内分する点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とおく.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が$\mathrm{BP} \perp \mathrm{OA}$かつ$\mathrm{AQ} \perp \mathrm{OB}$をみたすとき,$k,\ l$の値を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$のそれぞれの長さ$|\overrightarrow{a|}$,$|\overrightarrow{b|}$および内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(4)$k,\ l$が$(3)$の条件をみたすとき,点$\mathrm{R}$は$\mathrm{OR} \perp \mathrm{AB}$をみたすかどうかを内積を計算することによって述べよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が$\mathrm{BP} \perp \mathrm{OA}$かつ$\mathrm{AQ} \perp \mathrm{OB}$をみたすとき,$k,\ l$の値を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$のそれぞれの長さ$|\overrightarrow{a|}$,$|\overrightarrow{b|}$および内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(4)$k,\ l$が$(3)$の条件をみたすとき,点$\mathrm{R}$は$\mathrm{OR} \perp \mathrm{AB}$をみたすかどうかを内積を計算することによって述べよ.
![熊本大学](./img/univ/kumamoto.png)
$\triangle \mathrm{ABC}$と,$\mathrm{A}$を通り$\mathrm{BC}$に平行な直線$\ell$を考える.$k$を正の数とし,直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}$となるようにとる.また直線$\ell$上に点$\mathrm{Q}$を,線分$\mathrm{PB}$と線分$\mathrm{QC}$が$1$点で交わるようにとる.その交点を$\mathrm{R}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき,また$m$を$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=m \overrightarrow{\mathrm{AP}}$により定める.以下の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ k,\ m$を用いて表せ.
(2)$|\overrightarrow{b|}=1$,$|\overrightarrow{c|}=2$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{3}{4}$,$m=-1$とする.$\overrightarrow{\mathrm{BR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$が直交するとき,$k$の値を求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ k,\ m$を用いて表せ.
(2)$|\overrightarrow{b|}=1$,$|\overrightarrow{c|}=2$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{3}{4}$,$m=-1$とする.$\overrightarrow{\mathrm{BR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$が直交するとき,$k$の値を求めよ.