$2$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，いずれの箱にも赤球が$1$個，白球が$3$個入っている．ここで，「それぞれの箱から$1$個の球を無作為に取り出しそれらを交換する」という試行を$n$回繰り返す．その結果，$2$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がともに元の状態に戻っている確率を$p_n$とする．このとき，正の整数$k$に対して，
\[ p_{k+1}=\frac{[カ]}{[キ]}p_k+\frac{[ク]}{[ケ]}(1-p_k) \]
となる．よって，
\[ p_n=\frac{[コ]}{7} \left( \frac{1}{[サ]} \right)^n+\frac{[シ]}{7} \quad (n \geqq 1) \]
となる．

次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱があり，$\mathrm{A}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている．$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて，どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である（$0<\alpha<1$）．また，少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている．このとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し$\mathrm{A}$の箱に加えた後，$\mathrm{A}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は
\[ \frac{[$1$][$2$]}{[$3$][$4$]}+\frac{[$5$][$6$]}{[$7$][$8$]} \alpha \]
である．
(2)$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$の$4$つの箱があり，$\mathrm{E}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている．$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて，どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である（$0<\alpha<1$）．また，少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている．このとき，まず，$\mathrm{E}$と$\mathrm{F}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し，次に，$\mathrm{E}$と$\mathrm{G}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し，次に，$\mathrm{E}$と$\mathrm{H}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻した後，$\mathrm{E}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は
\[ \frac{\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$}}{10000}+\frac{[$13$][$14$][$15$]}{1000} \alpha \]
である．

棚に包装された製品が$n$個（$n \geqq 4$）並んでいるが，そのうち$2$個が不良品だということがわかっている．$n$個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない．今，どの$2$個が不良品かを見つけるために，$n$個の製品のうち$1$個を取り出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す．$1$個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品も同様にチェックし，この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し，$2$個目の不良品を交換した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき$1000$円，製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である．

(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$人がプレゼントを$1$つずつ持ち寄って，くじ引きで交換することになった（ただし，自分の持ってきたプレゼントが自分に当たる場合もありうる）．誰がどのプレゼントに当たるかはどれも同程度に起こりやすいとするとき，次の問いに答えよ．

(1)プレゼントの当たり方は全部で何通りか．
(2)$\mathrm{A}$が自分のプレゼントに当たる当たり方は何通りか．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がともに自分のプレゼントに当たる当たり方は何通りか．
(4)誰も自分が持ってきたプレゼントに当たらない確率を求めよ．

1個買うごとに景品を1個もらえる商品がある．景品は全部で$n$種類あり，それぞれ1から$n$までの番号がつけてある．また，1から$n$までの数字が1つずつ記入された$n$枚のカードがある．$n$枚のカードは外から数字が見えない箱の中に入れてあり，購入した商品1個ごとに箱の中から1枚引いて数字を確認して景品と交換する．引いたカードは，そのつど箱に戻すものとする．もらえる景品の番号は，引いたカードの数字と同じ番号のものとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)この商品を$m$個購入したとき，番号1の景品が少なくとも1個もらえる確率を求めよ．ただし，$m>n$とする．
(2)この商品を$n$個購入したとき，全種類の景品がそろわない確率を求めよ．
(3)この商品を$n+1$個購入したとき，全種類の景品がもらえる確率を求めよ．

赤色，青色，黄色の箱を各一箱，赤色，青色，黄色の球を各一個用意して，各球を球と同じ色の箱に入れる．この状態からはじめて，次の操作を$n$回（$n \geqq 1$）行う． \\
（操作） \ 三つの箱から二つの箱を任意に選び，その二つの箱の中の球を交換する．

(1)赤球の球が赤色の箱に入っている確率を求めよ．
(2)箱とその中の球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ．
(3)赤色の球が赤色の箱に入っている事象と，青色の球が青色の箱に入っている事象は，互いに独立かどうか，理由を付けて答えよ．

次の空欄に当てはまる数字を書け．

(1)$\mathrm{A}$の袋には赤玉$1$個と黒玉$15$個，$\mathrm{B}$の袋には黒玉$16$個が入っている．それぞれの袋から$1$個ずつ玉を取り出して交換する，という試行を$n$回繰り返したとき，赤玉が$\mathrm{A}$の袋に入っている確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数である．例えば，
\[ p_1 = \frac{[$1$][$2$]}{[$3$][$4$]},\ p_2 = \frac{[$5$][$6$][$7$]}{[$8$][$9$][$10$]} \]
である．$p_{n+1}$を$p_n$で表すと，$p_{n+1}=\displaystyle\frac{[$11$]}{[$12$]}p_n+\displaystyle\frac{[$13$]}{[$14$][$15$]}$となるので，これより
\[ p_n = \frac{[$16$]}{[$17$]}\left\{1+\left(\frac{[$18$]}{[$19$]}\right)^n\right\} \]
と求まる．
(2)赤玉$7$個，白玉$10$個，青玉$n$個が入った袋から，同時に$4$個の玉を取り出すとき，それらが赤玉$1$個，白玉$2$個，青玉$1$個である確率を$q_n$とする．ただし，$n$は自然数である．$\displaystyle\frac{q_{n+1}}{q_n}$を$n$の式で表すと，
\[ \frac{q_{n+1}}{q_n} = \frac{n^2+[$20$][$21$]n+[$22$][$23$]}{n^2+[$24$][$25$]n} \]
となる．これより$n \leq [$26$]$の範囲で$q_n < q_{n+1}$が成り立ち，また，$n \geq [$27$]$の範囲で$q_n > q_{n+1}$が成り立つことがわかる．従って，$q_n$は$n= [$28$]$で最大値$\displaystyle\frac{[$29$][$30$]}{[$31$][$32$][$33$]}$をとる．

はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とおく．

(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ．

はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とおく．

(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$n$が奇数ならば$a_n=b_n>c_n$が成り立ち，$n$が偶数ならば$a_n>b_n = c_n$が成り立つことを示せ．
(4)$b_n$を求めよ．