タグ「事象」の検索結果

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鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2016年 第6問
次の各問いに答えよ.

(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき,$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ.
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき,$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ.
(3)$2$つの事象$A,\ B$について,$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ.ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2016年 第5問
次の各問いに答えよ.

(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき,$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ.
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき,$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ.
(3)$2$つの事象$A,\ B$について,$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ.ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2016年 第5問
次の各問いに答えよ.

(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき,$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ.
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき,$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ.
(3)$2$つの事象$A,\ B$について,$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ.ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2016年 第2問
$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$,$g(x)=x$,$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく.$x_0=1$とし,$2$枚の硬貨を繰り返して投げ,$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める.
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表,$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{[ ]}{[ ]}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また,$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率,$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率,$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする.

(1)すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ.
(2)$p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ.
(3)$p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ.
(4)$p_n-r_n$を求めよ.
(5)$p_n$を求めよ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2016年 第3問
$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$,$g(x)=x$,$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく.$x_0=1$とし,$2$枚の硬貨を繰り返して投げ,$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める.
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表,$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{[ ]}{[ ]}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また,$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率,$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率,$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする.

(1)すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ.
(2)$p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ.
(3)$p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ.
(4)$p_n-r_n$を求めよ.
(5)$p_n$を求めよ.
名城大学 私立 名城大学 2016年 第1問
次の$[ア]$~$[エ]$に数を入れよ.

(1)$2$つのさいころを投げ,出た目が両方とも奇数である事象を$A$,出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする.このとき,$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり,$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である.
(2)$p$を定数とする.$x$の$1$次式$f(x)$が,
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき,$p=[ウ]$である.また,$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第4問
$3$つの袋$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$がある.袋$\mathrm{A}$には,$1$から$7$までの番号が書かれた玉がそれぞれ$2$個ずつ,計$14$個入っている.また,袋$\mathrm{B}$,袋$\mathrm{C}$には何も入っていない.以下,番号$i$が書かれた玉を「玉$i$」と呼ぶことにする.

袋$\mathrm{A}$から無作為に玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる.ここで袋$\mathrm{B}$に入れられた玉を玉$i$とするとき,玉$i-1$,玉$i$,玉$i+1$のうち袋$\mathrm{A}$に入っているものをそれぞれ$1$個ずつ取り出して袋$\mathrm{C}$に入れる.この一連の操作を繰り返す.
例えば,$1$回目の操作の最初に玉$7$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとする.このとき,袋$\mathrm{A}$には玉$6$と玉$7$は入っているが,玉$8$は入っていないので,玉$6$と玉$7$が$1$個ずつ袋$\mathrm{A}$から袋$\mathrm{C}$に移される.以上で$1$回目の操作が終わり,袋$\mathrm{A}$に玉$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6$の計$11$個が入った状態で$2$回目の操作を始める.


(1)$1$回目の操作で玉$4$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとき,$2$回目の操作で玉$5$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{[$43$]}{[$44$][$45$]}$である.

(2)$1$回目の操作で玉$2$が袋$\mathrm{B}$に入れられ,かつ$2$回目の操作で玉$1$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{[$46$]}{[$47$][$48$]}$である.

$1 \leqq i<j \leqq 7$を満たす整数$i,\ j$に対し,$2$回の操作を行った後に袋$\mathrm{B}$に玉$i$と玉$j$が入っている事象を$B_{i,j}$とし,事象$B_{i,j}$の確率を$P(B_{i,j})$で表す.

(3)$\displaystyle P(B_{1,2})=\frac{1}{7} \times \frac{[$49$]}{11}+\frac{1}{7} \times \frac{[$50$]}{10}=\frac{[$51$]}{110}$である.同様に,

$\displaystyle P(B_{1,3})=\frac{[$52$]}{[$53$][$54$]},\quad P(B_{1,7})=\frac{[$55$]}{[$56$][$57$]},$

$\displaystyle P(B_{2,3})=\frac{[$58$]}{[$59$][$60$]},\quad P(B_{2,4})=\frac{[$61$]}{[$62$][$63$]}$

である.
(4)$\comb{7}{2}$個の事象$B_{1,2},\ B_{1,3},\ \cdots,\ B_{6,7}$のうち,起こる確率が$P(B_{1,2})$であるものは$[$64$]$個,$P(B_{1,3})$であるものは$[$65$]$個,$P(B_{1,7})$であるものは$[$66$]$個,$P(B_{2,3})$であるものは$[$67$]$個,$P(B_{2,4})$であるものは$[$68$]$個である.

(5)$3$回の操作の後,袋$\mathrm{B}$に入っている玉の番号が全て偶数となる確率は$\displaystyle \frac{[$69$]}{[$70$][$71$]}$である.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2015年 第5問
$n$を$2$以上の自然数とする.$1$つの袋に$1$から$n$までの数を$1$つずつ書いた$n$個の球と,数$0$を書いた$2$個の球が入っている.これら$(n+2)$個の球が入っている袋から,元に戻すことなく,$1$個ずつ$3$回球を取り出し,その$3$個に書かれている数を取り出した順に$a,\ b,\ c$とする.事象$a+b \leqq c$の起こる確率を$P(n)$とするとき,次の各問に答えよ.

(1)$P(3)$を求めよ.
(2)$n$を偶数とするとき,$P(n)$を,$n$を用いて表せ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2015年 第4問
$1$から$9$までの自然数のそれぞれに赤か青の色を付ける操作を考える.

(1)$X$をこれら$1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合とする.$1$から$9$のそれぞれに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤か青の色を付けるとき,$X$に属するすべての数がすべて同じ色である確率を求めよ.
(2)一般に,ある試行における$3$つの事象$A,\ B,\ C$について,
\[ P(A \cup B \cup C) \leqq P(A)+P(B)+P(C) \]
が成り立つことを示せ.ここで$P(A)$は事象$A$が起こる確率である.
(3)$1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合が$3$つある.それを$X,\ Y,\ Z$とする.$1$から$9$のそれぞれに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤か青の色を付ける操作をしたとき,$X,\ Y,\ Z$のどれにも両方の色の数が含まれる確率が$0$ではないことを示せ.ただし,$X \cap Y$,$Y \cap Z$,$Z \cap X$は空集合とは限らない.
広島工業大学 私立 広島工業大学 2015年 第8問
$1$回の試行において,事象$A$が起こる確率を$3-5p$とする.次の問いに答えよ.

(1)$p$の条件を求めよ.
(2)$2$回の試行において,事象$A$が$1$回だけ起こる確率$f(p)$を求めよ.
(3)$f(p)$の最大値,およびそのときの$p$の値を求めよ.
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「事象」とは・・・

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