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広島大学 国立 広島大学 2016年 第5問
$n$を$2$以上の自然数とする.次の問いに答えよ.

(1)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし,
\[ f(a)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k-a)^2 \]
とする.$f(a)$を最小にする$a$は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の平均値で,そのときの最小値は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の分散であることを示せ.
(2)$c$を定数として,変量$y,\ z$の$k$番目のデータの値が

$y_k=k\phantom{c} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
$z_k=ck \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$

であるとする.このとき$y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n$の分散が$z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$の分散より大きくなるための$c$の必要十分条件を求めよ.
(3)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし,その平均値を$\overline{x}$とする.新たにデータを得たとし,その値を$x_{n+1}$とする.$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$の平均値を$x_{n+1},\ \overline{x}$および$n$を用いて表せ.
(4)次の$40$個のデータの平均値,分散,中央値を計算すると,それぞれ,ちょうど$40,\ 670,\ 35$であった.

\begin{tabular}{|rrrrrrrrrr|}
\hline
$120$ & $10$ & $60$ & $70$ & $30$ & $20$ & $20$ & $30$ & $20$ & $60$ \\
$40$ & $50$ & $40$ & $10$ & $30$ & $40$ & $40$ & $30$ & $20$ & $70$ \\
$100$ & $20$ & $20$ & $40$ & $40$ & $60$ & $70$ & $20$ & $50$ & $10$ \\
$30$ & $10$ & $50$ & $80$ & $10$ & $30$ & $70$ & $10$ & $60$ & $10$ \\ \hline
\end{tabular}


新たにデータを得たとし,その値が$40$であった.このとき,$41$個のすべてのデータの平均値,分散,中央値を求めよ.ただし,得られた値が整数でない場合は,小数第$1$位を四捨五入せよ.
熊本大学 国立 熊本大学 2016年 第2問
$1$つのさいころを$3$回投げる.$1$回目に出る目の数,$2$回目に出る目の数,$3$回目に出る目の数をそれぞれ$X_1,\ X_2,\ X_3$とし,$5$つの数
\[ 2,\quad 5,\quad 2-X_1,\quad 5+X_2,\quad X_3 \]
からなるデータを考える.以下の問いに答えよ.

(1)データの範囲が$7$以下である確率を求めよ.
(2)$X_3$がデータの中央値に等しい確率を求めよ.
(3)$X_3$がデータの平均値に等しい確率を求めよ.
(4)データの中央値と平均値が一致するとき,$X_3$が中央値に等しい条件付き確率を求めよ.
神戸薬科大学 私立 神戸薬科大学 2016年 第7問
次の$5$つのデータがあった.
\[ 5,\ 2,\ 8,\ 10,\ 5 \]

(1)このとき,第$1$四分位数$=[ヌ]$,中央値$=[ネ]$である.
(2)分散を求めると$[ノ]$である.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第1問
$(1)$~$(5)$において,$\nagamaruA$,$\nagamaruB$,$\nagamaruC$の値の大小関係を調べ,最大のものと最小のものを答えよ.

(1)$\{1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7\}$の,
$\nagamaruA$ 平均値 \qquad $\nagamaruB$ 中央値(メジアン) \quad $\nagamaruC$ 最頻値(モード)
(2)$\theta$が第$2$象限の角で,$\displaystyle \sin \theta=\frac{2}{3}$のとき,
$\displaystyle \nagamaruA \sin \left( \theta-\frac{\pi}{2} \right)$ \qquad $\nagamaruB \cos \theta$ \qquad $\nagamaruC \tan \theta$
(3)$\nagamaruA$ 半径$4$,面積$4 \pi$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruB$ 半径$5$,中心角$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruC$ 半径$6$,中心角${72}^\circ$の扇形の弧の長さ
(4)$2x^3+x^2-8x-3$を$x+2$で割ったときの商を$f(x)$としたとき,
$\nagamaruA f(0)$ \qquad $\nagamaruB f(1)$ \qquad $\nagamaruC f(2)$
(5)$f(x)=x^3-x^2-5x+5$のとき,
$\displaystyle \nagamaruA f \left( -\frac{2236}{1001} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruB f \left( \frac{98}{299} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruC f\left( \frac{502}{301} \right)$
千葉工業大学 私立 千葉工業大学 2016年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)$\displaystyle \frac{3-i}{3+i}=\frac{[ア]-[イ]i}{[ウ]}$(ただし,$i^2=-1$)である.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2(k-4)x+2k=0$が重解をもつような定数$k$の値は小さい順に$[エ]$,$[オ]$である.
(3)$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2-6x+35$のグラフは,放物線$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2$を$x$軸方向に$[カ]$,$y$軸方向に$[キ]$だけ平行移動した放物線である.
(4)$10$個の値$1,\ 3,\ 8,\ 5,\ 8,\ [ク],\ 3,\ 7,\ 7,\ 1$からなるデータの平均値は$5$,最頻値は$[ケ]$,中央値は$[コ]$である.
(5)$x>0$において,$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right) \left( 2-\frac{9}{x} \right)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}$のとき,最小値$[スセ]$をとる.
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個の数字を使ってできる$3$桁の整数は$[ソタ]$個あり,そのうち偶数のものは$[チツ]$個ある.
(7)$0 \leqq \theta<2\pi$とする.$\displaystyle \cos 3\theta=\frac{1}{2}$をみたす$\theta$のうち,最大のものは$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]} \pi$である.
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^3-3x+2) \, dx=\frac{[ニヌ]}{[ネ]}$である.
福岡大学 私立 福岡大学 2016年 第5問
平均値と中央値は共に代表値であり,求め方は全く異なるが比較的近い値であることが多い.いま,偶数個の身長のデータがあり,その最小値は$m=140 \, \mathrm{cm}$,最大値は$M=180 \, \mathrm{cm}$である.このデータの中央値が$A=150 \, \mathrm{cm}$のとき,半数のデータは$m$以上$A$以下の値であり,残る半数のデータは$A$以上$M$以下である.このことから平均値$\overline{x}$のとる値の範囲は$[ ]$である.また,平均値と中央値の関係を用いると,最小値が$m=140 \, \mathrm{cm}$,最大値が$M=180 \, \mathrm{cm}$である偶数個のデータの平均値が$\overline{x}=170 \, \mathrm{cm}$であるとき,中央値$A$の取る値の範囲は$[ ]$である.
広島女学院大学 私立 広島女学院大学 2016年 第3問
下の表は,ある高校の生徒$30$人の$2$つの科目$x$と$y$のテスト(点)の得点をまとめたものである.数値は,四捨五入していない正確な値とし,次の問いに答えよ.ただし,$\overline{x}$,$\overline{y}$はそれぞれ科目$x$,$y$の平均を意味し,$\sqrt{1.64}=1.28$,$\sqrt{2.73}=1.65$とする.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $x$ & $y$ & $x-\overline{x}$ & $(x-\overline{x})^2$ & $y-\overline{y}$ & $(y-\overline{y})^2$ & $(x-\overline{x})(y-\overline{y})$ \\ \hline
$1$ & $38$ & $39$ & $-23$ & $529$ & $-29$ & $841$ & $667$ \\ \hline
$2$ & $40$ & $50$ & $-21$ & $441$ & $-18$ & $324$ & $378$ \\ \hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
$29$ & $80$ & $90$ & $19$ & $361$ & $22$ & $484$ & $418$ \\ \hline
$30$ & $82$ & $96$ & $21$ & $441$ & $28$ & $784$ & $588$ \\ \hline
合計 & $1830$ & $[$12$]$ & $0$ & $4932$ & $0$ & $8190$ & $3181$ \\ \hline
平均値 & $61$ & $[$13$]$ & & & & & \\ \hline
中央値 & $60$ & $63$ & & & & & \\ \hline
\end{tabular}


(1)$[$12$]$,$[$13$]$の値を求めよ.
(2)科目$x,\ y$のそれぞれの分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$を求めよ.小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ.${s_x}^2=[$14$]$,${s_y}^2=[$15$]$
(3)科目$x,\ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ.小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ.$s_{xy}=[$16$]$
(4)科目$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ.小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ.$r=[$17$]$
(5)科目$x$と$y$の散布図として適切なものを下の(ア),(イ),(ウ)の図から選べ.$[$18$]$
(図は省略)
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2016年 第1問
以下の問いの空欄$[ア]$~$[コ]$に入れるのに適する数値,式を答えよ.

(1)方程式$|x+2|-|x-1|=3x-4$を満たす$x$の値は$[ア]$である.
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$\mathrm{A}(5,\ 2)$,$\mathrm{B}(7,\ -1)$,$\mathrm{C}(1,\ 2)$を通るとき,$a=[イ]$,$b=[ウ]$,$c=[エ]$である.この関数$y$のグラフを$x$軸方向に$-3$だけ平行移動したグラフを表す$2$次関数は$y=[オ]$である.
(3)あるクラスの男子学生の身長が,それぞれ$184 \, \mathrm{cm}$,$160 \, \mathrm{cm}$,$165 \, \mathrm{cm}$,$172 \, \mathrm{cm}$,$170 \, \mathrm{cm}$,$175 \, \mathrm{cm}$,$170 \, \mathrm{cm}$,$180 \, \mathrm{cm}$であるとき,中央値は$[カ] \, \mathrm{cm}$で,分散は$[キ]$である.
(4)$1$から$8$までの数字がひとつずつ書かれた$8$枚のカードの中から同時に$2$枚を選ぶとき,その和が$9$の場合は$100$点,その積が$40$以上の場合は$-25$点,その他の場合は$20$点与えられるものとする.得点の期待値は$[ク]$点である.
(5)不定方程式$17x-13y=1$の整数解を整数$m$を用いて表すと$x=[ケ]$,$y=[コ]$である.
一橋大学 国立 一橋大学 2015年 第5問
次の$\tocichi$,$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ.

\mon[$\tocichi$] 数列$\{a_k\}$を$\displaystyle a_k=k+\cos \left( \frac{k\pi}{6} \right)$で定める.$n$を正の整数とする.

\mon[$(1)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} a_k$を求めよ.
\mon[$(2)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} {a_k}^2$を求めよ.

\mon[$\tocni$] $a,\ b,\ c$は異なる$3$つの正の整数とする.次のデータは$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$10$人の得点をまとめたものである.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ & $⑥$ & $④chi$ & $\maruhachi$ & $\marukyu$ & $\marujyu$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $a$ & $c$ & $a$ & $b$ & $b$ & $a$ & $c$ & $c$ & $b$ & $c$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $a$ & $b$ & $b$ & $b$ & $a$ & $a$ & $b$ & $a$ & $b$ & $a$ \\ \hline
\end{tabular}

科目$\mathrm{X}$の得点の平均値と科目$\mathrm{Y}$の得点の平均値とは等しいとする.
\mon[$(1)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の分散を$s_{\mathrm{X}}^2$,科目$\mathrm{Y}$の得点の分散を$s_{\mathrm{Y}}^2$とする.$\displaystyle \frac{s_{\mathrm{X}}^2}{s_{\mathrm{Y}}^2}$を求めよ.
\mon[$(2)$] 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数を,四捨五入して小数第$1$位まで求めよ.
\mon[$(3)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の中央値が$65$,科目$\mathrm{Y}$の得点の標準偏差が$11$であるとき,$a,\ b,\ c$の組を求めよ.
広島工業大学 私立 広島工業大学 2015年 第9問
$30$人のクラスで$10$点満点のテストを行い,その結果は次の表の通りである.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
得点 & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & 計 \\ \hline
人数 & $0$ & $0$ & $2$ & $4$ & $5$ & $a$ & $b$ & $2$ & $3$ & $4$ & $3$ & $30$ \\ \hline
\end{tabular}

次の問いに答えよ.

(1)$a+b$の値を求めよ.
(2)得点の平均値が$6$点のとき,$(a,\ b)$を求めよ.
(3)得点の中央値が$5.5$点のとき,$(a,\ b)$を求めよ.
(4)得点の中央値が$6$点のとき,$(a,\ b)$を求めよ.
(5)得点の最頻値が$6$点のとき,$(a,\ b)$を求めよ.
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「中央値」とは・・・

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