$xy$平面で，次の不等式の表す領域を$D$とする．
\[ D:|x|+2 |y| \leqq 60 \]
以下の設問に答えよ．

(1)$D$を$xy$平面上に図示せよ．
(2)次の条件を満たす整数の組$(m,\ n)$の個数を求めよ．
\[ m+2n \leqq 60,\quad m \geqq 1,\quad n \geqq 1 \]
(3)$D$に含まれる整数の組$(m,\ n)$の個数を求めよ．

不等式
\[ 19200<19683=3^9<20000<20480=2^{11} \cdot 10 \]
を利用して，以下の設問に答えよ．ただし，$x=\log_{10}2$，$y=\log_{10}3$とする．

(1)$\log_{10}19200$の値を$x$と$y$で表せ．
(2)$x$と$\displaystyle \frac{3}{10}$の大小を比較せよ．

(3)$y$と$\displaystyle \frac{11}{23}$の大小を比較せよ．

$2$次不等式$a(x-3a)(x-a^2)<0$を解け．ただし，$a$は$0$でない定数とする．

$a,\ b$は$a < b$をみたす実数とする．$f(x),\ g(x)$は閉区間$[ \; a,\ b \; ]$で定義された連続関数で，$g(x) \leqq f(x)$をみたすとする．座標平面上，不等式$a \leqq x \leqq b,\ g(x) \leqq y \leqq f(x)$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をAとする．Aの面積$S$が正のとき，Aの重心の$y$座標は，
\[ \frac{1}{S} \int_a^b \frac{\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2}{2} \, dx \]
で与えられる．この事実を用いて，次の問いに答えよ．

(1)$r$は$0 < r < 1$をみたす実数とする．不等式$r^2 \leqq x^2 + y^2 \leqq 1,\ y \geqq 0$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をBとおく．Bの重心の$y$座標$Y(r)$を$r$を用いて表せ．
(2)$t$は正の実数とする．不等式$-1 \leqq x \leqq 1,\ \sqrt{1-x^2} -t \leqq y \leqq \sqrt{1-x^2}$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をCとおく．Cの重心の$y$座標$Z(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)(1)で得られた$Y(r)$と(2)で得られた$Z(t)$について，$\displaystyle \lim_{r \to 1-0}Y(r)$と$\displaystyle \lim_{t \to +0}Z(t)$の大小を比較せよ．

以下の問に答えよ．

(1)不等式$\log_{\frac{1}{2}}x>0$を解け．
(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}x>\log_x \frac{1}{2}$を解け．ただし，$x \neq 1$とする．

以下の各問に答えよ．

(1)$7^x=49^{1-x}$を解け．
(2)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$のとき，$x^4+x^2$の値を求めよ．
(3)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^0 (2x^2-x) \, dx - \int_1^0 (2x^2-x) \, dx \]
(4)関数$y=(2x-1)(x^2+2x-1)$を微分せよ．
(5)$\displaystyle 3\log_{\frac{1}{2}}3, 2\log_{\frac{1}{2}}5, \frac{5}{2}\log_{\frac{1}{2}}4$の3数の大小を比較せよ．
(6)$\overrightarrow{a}=(1,\ -1),\ \overrightarrow{b}=(-4,\ -3)$のとき，$2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$の大きさを求めよ．
(7)初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^2-3n$で与えられる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(8)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle |\sin \theta|<\frac{1}{2}$を解け．

原点をOとする座標空間において，2点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$から等距離にある点の集合を平面Hとする．次の問いに答えよ．

(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．

原点をOとする座標空間において，2点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$から等距離にある点の集合を平面Hとする．次の問いに答えよ．

(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を正の定数とするとき，関数
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{a+x^2}) \]
の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$t=\sqrt{3}\tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ I=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \]
を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$であるすべての$x$に対して，不等式
\[ \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \geqq k \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \]
が成り立つための実数$k$の範囲を求めよ．ただし，$\log 3=1.10$とする．

以下の問いに答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$に対して，次の命題が成り立つことを証明せよ．
\[ a^2-b^2>0 \ \text{ならば} \ a-b>0 \ \text{である．} \]
(2)実数$x,\ y$が$xy>0$をみたすとき，不等式$|x+y|>|x-y|$を証明せよ．