次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$1$以上の整数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち，最大のものを$M$とする．$a_n=M$であるような$n$を求めよ．

関数$y=f(x)$のグラフが媒介変数$\theta$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\sin \theta-\theta \cos \theta \phantom{\frac{1}{[　]}} \\
y=\cos \theta+\theta \sin \theta \phantom{\frac{1}{1}}
\end{array} \right. \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
と表されている．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin 2\theta \, d\theta$および$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta^2 \cos 2\theta \, d\theta$を計算せよ．

(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸，および$2$直線$x=0$と$x=1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$a$を$0<a<1$を満たす定数とし，$x,\ y$が$xy^2=a^3$を満たすとする．$x>0$，$y>0$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$X=\log_a x$，$Y=\log_a y$とおくとき，$X$と$Y$の関係式を求めよ．
(2)$x,\ y$が$\log_a x \cdot \log_a y \geqq 1$を満たすとき，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．

関数
\[ y=x^x(1-x)^{1-x} \quad (0<x<1) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$y$の導関数を求めよ．
(2)$y$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{t \to +0}t^t=1$であることを証明なしに用いてよい．

$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，$\log$は自然対数を表す．また，等式$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．

(2)$a$を正の実数とする．このとき，$a^x=x^a$を満たす正の実数$x$の個数を調べよ．

(3)定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log x}{x} \, dx$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．

楕円$\displaystyle \frac{x^2}{9}+y^2=1$を$C$とする．また，座標平面上の点$\mathrm{P}(v,\ w)$を通り，単位ベクトル$\overrightarrow{u}=(\alpha,\ \beta)$を方向ベクトルにもつ直線$\ell$の媒介変数$t$による表示を
\[ x=v+\alpha t,\quad y=w+\beta t \]
とする．直線$\ell$は$t=t_1,\ t_2$において楕円$C$とそれぞれ共有点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をもつとする．ただし，$\alpha>0$，$t_1 \leqq t_2$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$t_1+t_2$と$t_1t_2$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}} \cdot |\overrightarrow{\mathrm{PR|}}$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$\alpha=\beta$のとき，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QR|}}=\frac{6}{5}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

次の各問に答えよ．

(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する．
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^x \sin^3 t \, dt$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle F(x)=\int_0^x (e^{3x}-e^{3t}) \sin^3 t \, dt$を$x$について微分せよ．
(3)$F^\prime(x) \geqq 0$を証明せよ．