複素数平面上の異なる$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{P}(i)$，$\mathrm{Q}(z)$に対して，点$\mathrm{R}(w)$を
\[ w=\frac{\alpha-i}{\overline{\alpha}+i} \overline{z}+\frac{\alpha+\overline{\alpha}}{\overline{\alpha}+i}i \]
により定める．ただし，$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{P}(i)$，$\mathrm{Q}(z)$は同一直線上にない．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$|\displaystyle\frac{w-i|{z-i}}$を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{z-w}{\alpha-i}$の偏角$\theta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\alpha=\sqrt{3}+2i$とする．$\triangle \mathrm{PQR}$が点$\mathrm{A}$を重心とする正三角形となるとき，$z$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)空間上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(-1,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ -1)$とする．この$3$点を通る平面上に$\mathrm{D}(a,\ b,\ -1)$があるとき，$a$と$b$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=a>0,\quad a_{n+1}=16{a_n}^3 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
をみたすものとする．

(i) 数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_2 a_n$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(iii) すべての$n$について$a_n=a$をみたすような$a$の値を求めよ．

(3)複素数平面において，等式$2 |z-4|=3 |z-3i|$をみたす点$z$の全体はどのような図形を表すか．ただし$i$は虚数単位とする．

原点$\mathrm{O}$の座標平面上で点$\mathrm{A}(a,\ 0)$が与えられている．ただし$0<a<1$とする．また，点$\mathrm{P}$は曲線$x^2+y^2=1 (y>0)$上を以下の条件をみたしながら動くものとする．

（条件）三角形$\mathrm{OAP}$の外心$\mathrm{Q}$は$x^2+y^2 \leqq 1$をみたす領域内にある．

点$\mathrm{Q}$の$y$座標を$q$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)$q$の取りうる範囲を$a$を用いて表せ．
(2)$q$が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が条件をみたしながら動くとき，三角形$\mathrm{OAP}$が通過する領域の面積を$a$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$x=1+\sqrt{2}$のとき，次の式の値を求めよ．

(i) $x^2-2x-1$
(ii) $x^4-4x^3+7x^2-6x+2$

(2)$A=\{ x \;|\; 2<x \leqq 9 \}$，$B=\{ x \;|\; k-4 \leqq x \leqq k+6 \}$（$k$は定数）とするとき，$A \subset B$となる$k$の値の範囲を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が$(x+1)^2+(y-2)^2=2$を満たすとき，$x+y$の最小値と最大値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式
\[ 2 \cos \theta+1 \geqq 0 \]
を解け．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数
\[ y=\sin x+\cos x \]
の最大値とそのときの$x$の値，および最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．なお，整数$a,\ b,\ c$について，$a=bc$と表されるとき，$a$は$b$の倍数であるという．

(1)$x$は実数とする．不等式$x^4-x^2-20<0$を解け．
(2)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数

(3)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数

関数$f(x)=x^3-12x$について，次の各問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 5$の範囲で，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値，および最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(4)$x \geqq 0$の表す領域において，曲線$y=f(x)$，$y$軸，および$(3)$で求めた接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

$n$を自然数とし，$k$を$0 \leqq k \leqq 2n-1$を満たす整数とする．次の問いに答えなさい．

(1)定積分$\displaystyle \int_{\frac{k}{n} \pi}^{\frac{k+1}{n} \pi} \left( x+\frac{\pi}{2} \right) \sin nx \, dx$の値を$n$と$k$を用いて表しなさい．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^{2 \pi} \left( x+\frac{\pi}{2} \right) |\sin nx| \, dx$の値を求めなさい．

関数$f(x)=x+2 \cos x$を$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で考える．

(1)関数$y=f(x)$の極値と変曲点を求め，グラフの概形を描け．
(2)関数$y=f(x)$の二つの変曲点を通る直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$とで囲まれる図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$2$次関数
\[ y=-x^2+2x+2 \cdots\cdots① \]
のグラフの頂点の座標は$([ア],\ [イ])$である．また
\[ y=f(x) \]
は$x$の$2$次関数で，そのグラフは，$①$のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする．

(1)下の$[ウ],\ [オ]$には，次の$\nagamarurei$～$\nagamarushi$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\[ \nagamarurei > \qquad \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni \geqq \qquad \nagamarusan \leqq \qquad \nagamarushi \neq \]
$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [ウ] [エ] \]
であり，最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [オ] [カ] \]
である．

(2)$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは
\[ p=\frac{[キク]}{[ケ]},\quad q=\frac{[コサ]}{[シ]} \]
のときである．