$xy$平面において，連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq 2\pi,\quad \cos x \leqq y \leqq \sin x \]
の表す領域を$D$とおく．また，$D$のうち$y \geqq 0$の部分を$E$とおく．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)領域$D$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$E$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$\displaystyle y=\log_{\frac{1}{2}}(x+\sqrt{2}) (0 \leqq x \leqq \sqrt{2})$の値域を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，

$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．

大小$2$個のさいころを投げる試行において，大のさいころの出た目を$x$，小のさいころの出た目を$y$とする．$y \geqq x+3$のとき$1$点，$(x-2)^2+(y-2)^2 \leqq 2$のとき$2$点の得点が入り，それ以外のとき得点が入らないものとする．

$1$回の試行で得点が入る確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ][ウ]}$である．
$3$回の試行で合計$4$点以上の得点が入る確率は$\displaystyle \frac{[エ][オ]}{[カ][キ]}$である．

次の空欄を適当に補え．

(1)方程式$x^2+y=63$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[　]$組ある．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(2,\ -1)$がある．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{c}$と平行となるのは$t=[　]$のときである．
(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．不等式$\sqrt{3} \sin x+\cos x>\sqrt{3}$を解くと，$x$の値の範囲は$[　]$である．
(4)$S=1+2r^2+3r^4+4r^6+\cdots +10r^{18}$とする．$r=\sqrt{2}$のとき，$S$の値を求めると$[　]$である．
(5)赤，青，黄のカードが$2$枚ずつある．この$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に$2$枚ずつ配るとき，どの人の$2$枚についてもその色が異なる確率は$[　]$である．
(6)複素数平面で，方程式
\[ z \overline{z}-iz+i \overline{z}-9=0 \]
で定まる円の中心を表す複素数は$[　]$であり，半径は$[　]$である．ただし，$i$は虚数単位である．

関数$f(x)=(x-k)^2$と$g(x)=-(x-2)^2+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数である．

(1)曲線$y=g(x)$について，傾きが$-2$である接線の方程式を求めよ．また，その接点の座標を求めよ．
(2)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた範囲にある数とする．さらに，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq (x-k)^2 \\
y \leqq -(x-2)^2+4 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす領域を動くとき，$y+2x$の最大値が$9$となるような$k$の値の範囲を求めよ．

次の空欄を適当に補え．

(1)$1$から$210$までの自然数で，$3$の倍数でも$5$の倍数でもない自然数の個数は，$[ア]$個ある．
(2)$a>0$で，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}=3$であるとき，$\displaystyle a^3+\frac{1}{a^3}=[イ]$である．
(3)赤球$6$個，白球$3$個，青球$2$個が入っている袋から$3$個の球を同時に取り出す．取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は，$[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \tan \frac{5}{4} \pi$の値は$[エ]$で，$\displaystyle \tan \frac{5}{8} \pi$の値は$[オ]$である．

$a,\ b$は正の実数で，$b<1$とする．
\[ c=a-b-ab,\quad I=\int_0^a \frac{x}{1+x} \, dx+\int_0^{-b} \frac{x}{1+x} \, dx-ab \]
とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)不等式$c>-1$が成り立つことを証明せよ．
(2)等式$I=c-\log (c+1)$が成り立つことを証明せよ．
(3)不等式$I \geqq 0$が成り立つことを証明せよ．また，$I=0$が成り立つための$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．

$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+3x+\frac{1}{2}$について，定義域が$-5 \leqq x \leqq 0$のときの最大値と最小値を求めなさい．

不等式$2 \cos^2 \theta+5 \sin \theta-4>0 (0 \leqq \theta<2\pi)$を解きなさい．