$a$の関数
\[ S(a)=\int_0^1 |x^3-ax| \, dx \]
の最小値を求めよ．ただし$a>0$とする．

$2$直線$2x+y+1=0,\ 2x-ky+2=0$のなす角を$\theta \ (0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ)$とする．$\theta=45^\circ$となるように，定数$k$の値を定めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$7^x=49^{1-x}$を解け．
(2)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$のとき，$x^4+x^2$の値を求めよ．
(3)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^0 (2x^2-x) \, dx - \int_1^0 (2x^2-x) \, dx \]
(4)関数$y=(2x-1)(x^2+2x-1)$を微分せよ．
(5)$\displaystyle 3\log_{\frac{1}{2}}3, 2\log_{\frac{1}{2}}5, \frac{5}{2}\log_{\frac{1}{2}}4$の3数の大小を比較せよ．
(6)$\overrightarrow{a}=(1,\ -1),\ \overrightarrow{b}=(-4,\ -3)$のとき，$2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$の大きさを求めよ．
(7)初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^2-3n$で与えられる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(8)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle |\sin \theta|<\frac{1}{2}$を解け．

以下の問に答えよ．

(1)不等式$\log_{\frac{1}{2}}x>0$を解け．
(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}x>\log_x \frac{1}{2}$を解け．ただし，$x \neq 1$とする．

関数$y=x^2-4ax+7 \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．

$0 \leqq r \leqq l$のとき，円$(x-m)^2+(y-l)^2=r^2$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

次の問いに答えよ．

\mon[問1] 2次正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$で，$(A-E)(A-4E)=O$を満たすものを考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$はそれぞれ正の整数とする．

\mon[(1)] $a+d=5$であることを示せ．
\mon[(2)] このような$A$をすべて求めよ．

\mon[問2]
\[ a_1=1, a_{n+1}=\frac{9}{6-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義される数列$\{a_n\}$を考える．

\mon[(1)] すべての正の整数$n$に対し，$a_n<3$が成り立つことを証明せよ．
\mon[(2)] $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．
\mon[(3)] 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{5+4 \cos x}} \quad (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$を求め，$f(x)$の増減を調べよ．また，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ．

関数$y=x^2-4ax+7 \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．

$0 \leqq r \leqq l$のとき，円$(x-m)^2+(y-l)^2=r^2$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．