小数第$1$位までで表される正数$X,\ Y$に対して，$m,\ n$を
\[ X-0.4 \leqq m \leqq X+0.5,\quad Y-0.4 \leqq n \leqq Y+0.5 \quad \cdots \quad ① \]
を満たす$0$以上の整数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$X=2.6$のとき$m=[$1$]$であり，$Y=4.3$のとき$n=[$2$]$である．
(2)関係式$①$を満たす$X,\ Y,\ m,\ n$に対して，さらに関係式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
5X-4Y=22.2 & \cdots & ② \\
2m+3n=26 & \cdots & ③
\end{array} \right. \]
が成立するという．$X,\ Y,\ m,\ n$を求めよう．
関係式$③$を満たす$0$以上の整数$m,\ n$のうちで，対応する$X,\ Y$が関係式$②$を満たすのは$m=[$3$]$，$n=[$4$]$である．このとき，
\[ X=[$3$]+\frac{x}{10},\quad Y=[$4$]+\frac{y}{10} \]
とすると，$5x-4y=[$5$][$6$]$が成り立つ．
以上のことから，$x=[$7$]$，$y=[$8$][$9$]$となる．

正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．時刻$0$で点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとにそのときにいる頂点から辺で結ばれた他の$2$頂点にそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で，辺で結ばれていない頂点に確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で移動する．$n \geqq 1$に対して，$n$秒後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$にある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$とする．

(1)$a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1},\ d_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を用いて表せ．
(3)$a_n+c_n$の値を求めよ．
(4)$p_n=a_n-c_n$とおくとき，$p_n$を$n$を用いて表せ．
(5)$a_n$を$n$を用いて表せ．

次の連立不等式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
5x+3 \geqq 3x+1 \\
x-2>4x-11
\end{array} \right. \]

$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\cos^2 \theta+2 \sin \theta$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$c$を$0<c<1$を満たす実数とする．関数
\[ F(x)=\int_0^x (t-c) \log \left( t^2-t+\frac{1}{2} \right) \, dt \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$F(x)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ．
(2)$F^\prime(x)<0$となる$x$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(3)$F(x)$が極大値をとる$x$の値と極小値をとる$x$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき，$x \geqq 0$の範囲における$F(x)$の最小値を求めよ．

$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$，半径$r (0<r<p)$の円$C_1$が，放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で，直線$\ell:y=q (q>p)$と$1$点で接している（直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする）．ここで$2$つの曲線が接するとは，交点における接線が一致することを意味する．このとき
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり，$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす．また，放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である．このとき，放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である．

$a$を$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{1}{2}$を満たす実数とする．このとき，関数$f(x)=|x^2-2ax|$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のときの，$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
また，$\displaystyle a=\frac{4}{9}$のときの，$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)$f(a)=f(1)$となる$a$の値を$A$とする．このとき，$A$を求めよ．
(3)$0 \leqq a \leqq A$とする．$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle A \leqq a \leqq \frac{1}{2}$とする．$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(5)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$の関数として，$M(a)$で表す．$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{1}{2}$における$M(a)$の最小値を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする．$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし，$A$の補集合を$\overline{A}$とする．$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし，$B$の補集合を$\overline{B}$とする．$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり，$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である．
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$f(x)=[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると，$a=[エ]$である．
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である．
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき，定数$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると，$\theta=[ク]$である．
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと，$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である．ただし，空欄に入る数は整数である．
(8)$p,\ q$を実数とし，$q>4$とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1)$，$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta=[サ]$である．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_x^{x+1} (1+|t|)(1+|t-1|) \, dt \]
と定義する．

(1)$x \leqq -1$のとき，
\[ f(x)=[ネ]x^2+[ノ]x+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
である．
(2)$x$が実数全体を動くとき，関数$f(x)$は，$x=[フ]$のとき最小となり，その値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．

図のように辺の長さが$a$と$b$である長方形があり，$ab=1$とする．この長方形の四隅から，一辺の長さが$\displaystyle c \left( 0<c<\frac{1}{2} \right)$の正方形を切り取り，残った部分を組み立ててできる直方体の容器の容積を$V$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle 0<c<\frac{1}{2}$を満たす$c$に対して，$a$と$b$が変化するとき，$a$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(2)容積$V$を$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$V$を最大にする$a$の値と，そのときの$V$の値を$c$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$V$の値を$c$の関数として$M(c)$で表す．このとき，$M(c)$を最大にする$c$の値と，そのときの$M(c)$の値を求めよ．