$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$，$g(x)=x$，$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく．$x_0=1$とし，$2$枚の硬貨を繰り返して投げ，$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める．
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表，$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また，$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ．
(2)$p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ．
(3)$p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$p_n-r_n$を求めよ．
(5)$p_n$を求めよ．

$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S$に対して，$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ．

以下の問いに答えよ．なお，必要があれば以下の極限値の公式を用いてもよい．
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0 \]

(1)方程式$2^x=x^2 (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(2)$a$を正の実数とし，$x$についての方程式$a^x=x^a (x>0)$を考える．

(i) 方程式$a^x=x^a (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(ii) 方程式$a^x=x^a (x>0)$で$a,\ x$がともに正の整数となる$a,\ x$の組$(a,\ x)$をすべて求めよ．ただし$a \neq x$とする．

$xy$平面上において，媒介変数$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$によって$x=a(2 \cos \theta+\cos 2\theta+1)$，$y=a(2 \sin \theta+\sin 2\theta)$と表される下図の曲線について考える．ただし，$a$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dx}{d\theta},\ \frac{dy}{d\theta}$を求めよ．
(2)$x$が最大となる点を点$\mathrm{A}$，$y$が最大となる点を点$\mathrm{B}$，$x$が最小となる点を点$\mathrm{C}$と定める．このとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標および各点での媒介変数$\theta$の値を求めよ．
(3)曲線と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
（図は省略）

$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする．複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．

(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．

$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．下の図$1$のように，$2$辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上に，$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．

$t$を$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とし，関数$\displaystyle f(x)=|\cos x-t| \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$と$x$軸との共有点の$x$座標を$\alpha$とする．また，$C$と$x$軸，$y$軸および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形を$D$とし，$D$の面積を$S$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のとき，$D$を図示せよ．
(2)$S$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．
(4)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$V$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．

複素数平面上で，複素数$z$に対応する点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(z)$と表す．$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(1)$，$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある．ただし，複素数$\beta$の偏角$\theta$は，$0<\theta<\pi$を満たすとする．また，$s$と$t$は$4s-t^2>0$を満たす実数とする．等式
\[ \beta^2-t \beta+s=0 \]
が成り立つとき，以下の各問に答えよ．

(1)複素数$\beta$の実部と虚部をそれぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(2)複素数$\beta$の絶対値と，偏角$\theta$に対する$\sin \theta$を，それぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$が二等辺三角形になるために$s$と$t$が満たすべき条件を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$が$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}$である二等辺三角形とする．このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{4}$となる$s$と$t$の値の組をすべて求めよ．

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$について，傾きが$1$である接線を$\ell$とする．$C$と$\ell$との接点の座標を求めよ．

(2)実数$\alpha,\ \beta$が$0<\alpha<\beta<1$を満たすとき，$2$つの実数$\displaystyle \frac{e^\alpha-\alpha}{\alpha}$と$\displaystyle \frac{e^\beta-\beta}{\beta}$の大小関係を不等号を用いて表せ．

(3)定積分$\displaystyle \int_0^{e-1} x \log (x+1) \, dx$を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)不等式$\log_x y>0$の表す領域を座標平面上に図示せよ．
(2)不等式$\log_y x<\log_x y$の表す領域を座標平面上に図示せよ．