$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．

(1)平面上の点$(x,\ y)$は$x+y=a$，$x>0$，$y>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y \]
の最小値を求めよ．
(2)空間上の点$(x,\ y,\ z)$は$x+y+z=a$，$x>0$，$y>0$，$z>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y+z \log z \]
の最小値を求めよ．

$a$を$0$でない実数とする．$2$つの放物線$y=x^2$，$\displaystyle y=-x^2+2ax+\frac{1}{2a^2}$がある．

(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい．
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい．
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい．

$a$を$0$でない実数とする．$2$つの放物線$y=x^2$，$\displaystyle y=-x^2+2ax+\frac{1}{2a^2}$がある．

(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい．
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい．
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい．

中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$a$の定円$C_1$上を，半径$\displaystyle \frac{a}{4}$の円$C_2$が内接しながらすべることなく回転する．円$C_2$上の点$\mathrm{P}$は最初に点$\mathrm{A}(a,\ 0)$にあるとする．円$C_2$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，動点$\mathrm{P}$が移動する距離を求めなさい．

定積分$\displaystyle \int_a^{a+1} |e^x-1| \, dx$の値を$I(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$-1 \leqq a \leqq 0$のとき，$I(a)$を$a$で表せ．
(2)$a$が実数全体を動くとき，$I(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して$\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．
(2)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle x-\frac{x^2}{2}<\log (1+x)<x$が成り立つことを示せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{1}{x+\log (1+x)} \, dx$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]

数列$\{a_n\}$を$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定める．また$\alpha$を$\displaystyle \alpha=1+\frac{1}{\alpha}$を満たす正の実数とする．次の各問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$で定める．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$b_n \geqq 1$となることを示せ．
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$\displaystyle |b_{n+1|-\alpha} \leqq \frac{1}{\alpha} |b_n-\alpha|$となることを示せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$\displaystyle |b_n-\alpha| \leqq \frac{1}{\alpha^n}$となることを示せ．

次の各問いに答えよ．

(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．