$0<p<1$とする．
\[ a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_{n+2}=(1-p)a_{n+1}+pa_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列$\{a_n\}$に対して，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとる．ただし，$0<t<4$とする．さらに放物線$C:y=-x^2+7x$上に$2$点$\mathrm{B}(4,\ 12)$，$\mathrm{Q}(t,\ -t^2+7t)$をとる．$\triangle \mathrm{APB}$の面積を$f(t)$とし，放物線$C$，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{OP}$によって囲まれた図形の面積を$g(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$f(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$h(t)=f(t)+g(t)$とおく．$0<t<4$における$h(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

$0<p<1$とする．
\[ a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_{n+2}=(1-p)a_{n+1}+pa_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列$\{a_n\}$に対して，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$を利用して，不定積分$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ．

(2)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2} \tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$0$でない複素数$z$の極形式を$r(\cos \theta+i \sin \theta)$とするとき，次の複素数を極形式で表せ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とし，また$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表す．

(1)$-\overline{z}$

(2)$\displaystyle \frac{1}{z^2}$

(3)$z-|z|$

$0<p<1$とする．
\[ a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_{n+2}=(1-p)a_{n+1}+pa_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列$\{a_n\}$に対して，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2} \tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$1$から$5$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつある．これらから$4$枚を選び，横$1$列に並べる．並べられたカードに書かれた数字を左から順に$a,\ b,\ c,\ d$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)カードの並べ方の総数を求めよ．
(2)次のルールのもとで，$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ．
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば，$b$と$c$のカードを捨てる．
$a<b<d<c$ならば，$b$と$d$のカードを捨てる．
$b<a<c<d$ならば，$a$と$c$のカードを捨てる．
$b<a<d<c$ならば，$a$と$d$のカードを捨てる．
その他は何も捨てない．
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで，何も捨てない確率を求めよ．

$1$から$5$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつある．これらから$4$枚を選び，横$1$列に並べる．並べられたカードに書かれた数字を左から順に$a,\ b,\ c,\ d$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)カードの並べ方の総数を求めよ．
(2)次のルールのもとで，$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ．
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば，$b$と$c$のカードを捨てる．
$a<b<d<c$ならば，$b$と$d$のカードを捨てる．
$b<a<c<d$ならば，$a$と$c$のカードを捨てる．
$b<a<d<c$ならば，$a$と$d$のカードを捨てる．
その他は何も捨てない．
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで，何も捨てない確率を求めよ．

実数$a,\ b$は$a \geqq 0$，$b \geqq 0$，$a^2+b^2=1$を満たしているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)定積分
\[ S=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |a \sin x-b \cos x| \, dx \]
を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$の最大値，最小値とそのときの$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．