「不等号」について
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国立 群馬大学 2016年 第3問定数$a$は$0<a<1$とし，また$n$は正の整数とする．ただし，$n=1$のときは$(a-x)^{n-1}=1$とする．
\[ R_n=n \int_0^a \frac{(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}} \, dx \]
とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$R_1$と$R_2$を求めよ．
(2)$R_n$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty R_n$の和を求めよ．
\[ R_n=n \int_0^a \frac{(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}} \, dx \]
とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$R_1$と$R_2$を求めよ．
(2)$R_n$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty R_n$の和を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第3問$2$つの数列$\{\theta_n\},\ \{a_n\}$を漸化式
$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$
$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定義するとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ．また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)$2 \cos \theta_n=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ．
$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$
$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定義するとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ．また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)$2 \cos \theta_n=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第4問実数$a$は$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$であるとする．関数$f(x)=\sqrt{x}-a \log x$について次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ．
国立 宮城教育大学 2016年 第5問点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として，法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし，不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする．点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$，$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ．
(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$，$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ．
(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第3問$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整数$x,\ y$に対して$11x+7y$が$77$の倍数ならば，$x$は$7$の倍数であり$y$は$11$の倍数であることを示せ．
(2)整数$x,\ y$が次の$3$つの条件
\[ \sin \left( \frac{\pi}{7}x+\frac{\pi}{11}y \right)=0,\quad 10<x<34,\quad 10<y<30 \]
を満たすとき，$|x-y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(1)整数$x,\ y$に対して$11x+7y$が$77$の倍数ならば，$x$は$7$の倍数であり$y$は$11$の倍数であることを示せ．
(2)整数$x,\ y$が次の$3$つの条件
\[ \sin \left( \frac{\pi}{7}x+\frac{\pi}{11}y \right)=0,\quad 10<x<34,\quad 10<y<30 \]
を満たすとき，$|x-y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第3問$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第4問半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$，放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第4問半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$，放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第3問平面上の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を$\displaystyle \beta \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．さらに，
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．