「三角比」について
タグ「三角比」の検索結果
(4ページ目:全1924問中31問~40問を表示)![大阪教育大学](./img/univ/osakakyouiku.png)
$n$を$2$以上の自然数とする.
(1)方程式$z^n=1$をみたす複素数$z$をすべて求めよ.
(2)$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を実数かつ$c_0 \neq 0$とする.方程式
\[ c_0z^n+c_1z^{n-1}+\cdots+c_n=0 \]
のすべての解を$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n$とするとき,$\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_n$を$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を用いて表せ.
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{2k\pi}{n}$を求めよ.
(1)方程式$z^n=1$をみたす複素数$z$をすべて求めよ.
(2)$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を実数かつ$c_0 \neq 0$とする.方程式
\[ c_0z^n+c_1z^{n-1}+\cdots+c_n=0 \]
のすべての解を$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n$とするとき,$\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_n$を$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を用いて表せ.
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{2k\pi}{n}$を求めよ.
![九州工業大学](./img/univ/kyushukougyou.png)
複素数$z_n$を
\[ z_0=0,\quad z_1=1,\quad z_{n+2}=z_{n+1}+\alpha (z_{n+1}-z_n) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
により定める.ただし,$i$を虚数単位とし,$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right)$とする.また,複素数平面上で複素数$z_n$を表す点を$\mathrm{P}_n$とする.以下の問いに答えよ.
(1)$z_2,\ z_3,\ z_4$を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$を図示せよ.また,線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さ,および$\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$,$\angle \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1$,$\angle \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の値も図中に示せ.
(3)$z_{n+1}-z_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$\alpha$と$n$を用いて表せ.
(4)$z_n$の実部,虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(5)$(4)$で求めた$x_n,\ y_n$について,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$をそれぞれ求めよ.
\[ z_0=0,\quad z_1=1,\quad z_{n+2}=z_{n+1}+\alpha (z_{n+1}-z_n) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
により定める.ただし,$i$を虚数単位とし,$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right)$とする.また,複素数平面上で複素数$z_n$を表す点を$\mathrm{P}_n$とする.以下の問いに答えよ.
(1)$z_2,\ z_3,\ z_4$を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$を図示せよ.また,線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さ,および$\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$,$\angle \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1$,$\angle \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の値も図中に示せ.
(3)$z_{n+1}-z_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$\alpha$と$n$を用いて表せ.
(4)$z_n$の実部,虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(5)$(4)$で求めた$x_n,\ y_n$について,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$をそれぞれ求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
次の問いに答えよ.
(1)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{\sin x} \, dx \]
(2)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x-\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\sin x} \, dx \]
(3)$(1),\ (2)$の結果を用いて次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{\sin x} \, dx \]
(4)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{1}{e}}^1 \left( 1+\frac{1}{x} \right) \log x \, dx \]
(5)次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ.
\[ f(x)=\sin^2 x+2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt \]
(1)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{\sin x} \, dx \]
(2)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x-\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\sin x} \, dx \]
(3)$(1),\ (2)$の結果を用いて次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{\sin x} \, dx \]
(4)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{1}{e}}^1 \left( 1+\frac{1}{x} \right) \log x \, dx \]
(5)次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ.
\[ f(x)=\sin^2 x+2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt \]
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
次の問いに答えよ.
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ.
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan \left( \displaystyle\frac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \]
を求めよ.
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ.
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan \left( \displaystyle\frac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \]
を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする.ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする.図で示すように,円$C_1$,$C_2$を以下の$(ⅰ)$~$\tokeishi$で定める.
(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する.
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ.
(図は省略)
(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する.
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ.
(図は省略)
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
$1$以上$6$以下の$2$つの整数$a,\ b$に対し,関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次の条件(ア),(イ),(ウ)で定める.
(ア) $f_1(x)=\sin (\pi x)$
(イ) $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(ウ) $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ.
(1)$a=2,\ b=3$のとき,$f_5(0)$を求めよ.
(2)$a=1,\ b=6$のとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} (-1)^k f_{2k}(0)$を求めよ.
(3)$1$個のさいころを$2$回投げて,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とするとき,$f_6(0)=0$となる確率を求めよ.
(ア) $f_1(x)=\sin (\pi x)$
(イ) $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(ウ) $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ.
(1)$a=2,\ b=3$のとき,$f_5(0)$を求めよ.
(2)$a=1,\ b=6$のとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} (-1)^k f_{2k}(0)$を求めよ.
(3)$1$個のさいころを$2$回投げて,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とするとき,$f_6(0)=0$となる確率を求めよ.
![群馬大学](./img/univ/gunma.png)
$0<\theta<\pi$とする.単位円の周上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta)$,$\mathrm{C}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ.また,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
次の問いに答えよ.
(1)整数$x,\ y$に対して$11x+7y$が$77$の倍数ならば,$x$は$7$の倍数であり$y$は$11$の倍数であることを示せ.
(2)整数$x,\ y$が次の$3$つの条件
\[ \sin \left( \frac{\pi}{7}x+\frac{\pi}{11}y \right)=0,\quad 10<x<34,\quad 10<y<30 \]
を満たすとき,$|x-y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ.
(1)整数$x,\ y$に対して$11x+7y$が$77$の倍数ならば,$x$は$7$の倍数であり$y$は$11$の倍数であることを示せ.
(2)整数$x,\ y$が次の$3$つの条件
\[ \sin \left( \frac{\pi}{7}x+\frac{\pi}{11}y \right)=0,\quad 10<x<34,\quad 10<y<30 \]
を満たすとき,$|x-y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
$2$つの数列$\{\theta_n\},\ \{a_n\}$を漸化式
$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$
$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定義するとき,次の問いに答えよ.
(1)数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ.また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(2)$\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(3)$2 \cos \theta_n=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ.
$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$
$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定義するとき,次の問いに答えよ.
(1)数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ.また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(2)$\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(3)$2 \cos \theta_n=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする.点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として,法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする.法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし,不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする.点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし,次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ.
(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$,$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ.
(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ.
(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ.
(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$,$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ.
(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ.