$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$において，曲線$y=a \sin x$（$a$は定数）を$C_1$，曲線$y=\tan x$を$C_2$とする．$a>1$であるとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-\tan 2x}-\sqrt{1+\tan 2x}}{x} \]

$i$を虚数単位とし，$\displaystyle \alpha=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$とする．

(1)$\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6=-1$が成立することを示せ．
(2)$z=\alpha+\alpha^2+\alpha^4$とするとき，$z+\overline{z}$と$z \overline{z}$を求めよ．ここで$\overline{z}$は$z$の共役複素数である．
(3)$\alpha+\alpha^2+\alpha^4$を求めよ．

$C$を媒介変数$t (0 \leqq t \leqq \pi)$を用いて$x=1-\cos t$，$y=2 \sin t+\sin 2t$と表される座標平面上の曲線とする．

(1)曲線$C$上で$y$座標が最大となる点の座標を求め，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

座標平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{A}(k,\ 1)$，$\mathrm{B}(k,\ -1)$とする．ただし，$k>1$，$0^\circ<\theta<{90}^\circ$であるとする．以下の問題に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$\theta$と$k$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{PB}$と$x$軸の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\triangle \mathrm{OPC}$の面積を$\theta$と$k$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{PB} \perp \mathrm{OA}$が成り立つための条件を$\theta$と$k$を用いて表せ．
(4)$\theta={30}^\circ$のとき，$\mathrm{PB} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとする．このとき，$k$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$a,\ b,\ c$が$a+b+c=5$かつ$ab+bc+ca=4+abc$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の少なくとも一つは$1$であることを示せ．
(2)$x^2-4x+1=0$のとき，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$，$\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}$の値を求めよ．
(3)次の関数を微分せよ．
\[ y=x^{\cos x} \quad (x>0) \]

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ニ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．

(1)$2$次方程式$2x^2-3x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2,\ \beta^2$を解とする$2$次方程式の$1$つは$[サ]$である．
(2)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 7)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を通る円の方程式は$[シ]$である．また，この円と直線$y=x+k$が接するとき$k=[ス]$，$[セ]$である．
(3)関数$y=\cos 2x+2 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めると，$x=[ソ]$，$[タ]$のとき最大値$y=[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$y=[テ]$をとる．
(4)不等式$\log_2(x+5)+\log_2(x-2)<3$を満たす$x$の範囲は$[ト]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2n^2-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ナ]$であり，$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_na_{n+1}$を$n$の式で表すと$[ニ]$である．

関数$f(x)=\sqrt{2} \cos 2x-3 \sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)$\sin x=t$とおいて，$f(x)$を$t$で表せ．
(2)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における解を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$の値を求めよ．
(4)$(3)$の$\alpha$について，定積分$\displaystyle \int_0^\alpha f(x) \, dx$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(\theta)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin (\theta-x)| \, dx (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．

(2)$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \pi \right)$を求めよ．

(3)$y=f(\theta)$のグラフをかき，その最大値と最小値を求めよ．

$\mathrm{AC}=\sqrt{6}$，$\mathrm{BC}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{ACB}=\frac{\pi}{12}$である$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，$\angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{PAQ}=\angle \mathrm{QAC}$が成り立っている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \cos \frac{\pi}{12}$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{PC}$の長さを求めよ．