「三角比」について
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国立 広島大学 2016年 第2問四角形$\mathrm{ABCD}$において，
\[ \angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{DBC}={90}^\circ,\quad \angle \mathrm{BCD}={60}^\circ,\quad \mathrm{AB}=\mathrm{AD},\quad \mathrm{BC}=1 \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)対角線$\mathrm{BD}$の長さの$2$乗$\mathrm{BD}^2$を求めよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さの$2$乗$\mathrm{AC}^2$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{ACD}=\beta$とおくとき，$\cos^2 \alpha,\ \cos^2 \beta$を求めよ．
\[ \angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{DBC}={90}^\circ,\quad \angle \mathrm{BCD}={60}^\circ,\quad \mathrm{AB}=\mathrm{AD},\quad \mathrm{BC}=1 \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)対角線$\mathrm{BD}$の長さの$2$乗$\mathrm{BD}^2$を求めよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さの$2$乗$\mathrm{AC}^2$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{ACD}=\beta$とおくとき，$\cos^2 \alpha,\ \cos^2 \beta$を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2016年 第4問実数$t$に対し，複素数
\[ \left( \frac{1}{2}+\cos t+i \sin t \right)^2 \]
の実部を$f(t)$，虚部を$g(t)$とする．座標平面上に
\[ \text{曲線}C:x=f(t),\quad y=g(t) \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
がある．
(1)$0 \leqq t \leqq \pi$のとき$f(t)$のとる値の範囲を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( f \left( \frac{\pi}{3} \right),\ g \left( \frac{\pi}{3} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$の$y \leqq 0$の範囲にある部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
\[ \left( \frac{1}{2}+\cos t+i \sin t \right)^2 \]
の実部を$f(t)$，虚部を$g(t)$とする．座標平面上に
\[ \text{曲線}C:x=f(t),\quad y=g(t) \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
がある．
(1)$0 \leqq t \leqq \pi$のとき$f(t)$のとる値の範囲を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( f \left( \frac{\pi}{3} \right),\ g \left( \frac{\pi}{3} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$の$y \leqq 0$の範囲にある部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 岡山大学 2016年 第3問ひとつのサイコロを$3$回振り，出た目を順に$u,\ v,\ w$とする．そして座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を
\[ a_1=u,\quad a_2=0,\quad b_1=v \cos \frac{(w+2)\pi}{12},\quad b_2=v \sin \frac{(w+2)\pi}{12} \]
で定める．このとき以下の問いに答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,\ 0)$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$が大きさ$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ．
\[ a_1=u,\quad a_2=0,\quad b_1=v \cos \frac{(w+2)\pi}{12},\quad b_2=v \sin \frac{(w+2)\pi}{12} \]
で定める．このとき以下の問いに答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,\ 0)$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$が大きさ$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ．
国立 岡山大学 2016年 第4問関数$f(x)=8x^3-6x-1$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．
(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．
(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．
(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．
国立 岡山大学 2016年 第2問関数$f(x)=8x^3-6x-1$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．
(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．
(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．
(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．
国立 鳴門教育大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=k$，$\mathrm{CA}=2k$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形となるような$k$とそのときの$\sin C$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle \tan C=\frac{3}{4}$となるときの，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形となるような$k$とそのときの$\sin C$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle \tan C=\frac{3}{4}$となるときの，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
国立 三重大学 2016年 第2問$0 \leqq x \leqq 2$とする．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第2問$0 \leqq x \leqq 2$とする．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第2問$0 \leqq x \leqq 2$とする．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第2問$0 \leqq x \leqq 2$とする．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．