次の$[　]$に適切な数を入れよ．

(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して，
\[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
である．
(2)開発中のある薬品を製造するために，$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が考案された．また，各々の方式で，失敗せず薬品が製造できる確率は，それぞれ，$90 \, \%$，$70 \, \%$，$50 \, \%$である．これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき，少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は，$[ウ][エ].[オ] \%$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるとき，初項は$\displaystyle a_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，一般項は$\displaystyle a_n=\frac{[ク]^{n-1}}{[ケ]^n}$である．

また，$a_{2016}$の整数部分は$[コ][サ][シ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$，$f(2)=31$を満たす．さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$，$x=1$で極値をとるとする．このとき，$a=[ス]$，$b=[セ]$，$c=[ソ]$であり，$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$3$つのさいころを同時に投げて，出た目の和を$S$とする．$S \geqq 13$となる確率を求めよ．
(2)$\displaystyle \cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{3}$であるとき，$\displaystyle \tan x+\frac{1}{\tan x}$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$18$で，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とするとき
\[ a \cos B=5,\quad b \sin A=12 \]
が成り立つとする．

(1)$a,\ b,\ c$を求めよ．
(2)$\cos A$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$は鋭角三角形で，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とするとき，$a=2b \sin A$が成り立っている．

(1)$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(2)$a=3 \sqrt{3}$，$c=5$のとき，$b$を求めよ．

$x$が実数全体を動くとき，関数$4 \cos 2x-\cos x$の最大値と最小値を求めよ．

次の空欄に当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．ただし，空欄$[サシ]$は$2$桁の数をあらわす．

(1)$k$を自然数とすると
\[ \int_0^\pi \sin^k x \cos x \, dx=[ア] \]
である．
(2)直線$y=\sqrt{3}x$を$\ell$とし，曲線$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$を$C$とする．直線$\ell$上に点$\mathrm{A}$をとり，点$\mathrm{A}$において直線$\ell$と直交する直線を$L$とする．関数$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$は$x$に関する単調増加関数であるので，直線$L$と曲線$C$の共有点は$1$点のみである．その共有点を$\mathrm{B}(t,\ \sqrt{3}t+\sin^2 t)$とする．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$h$とおくと，
\[ h=\frac{1}{[イ]} \sin^2 t \]
となる．また，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の距離を$p$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標が$0$以上であるときは
\[ p=[ウ]t+\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]} \sin^2 t \]
となる．この等式の右辺を$f(t)$とおく．
$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形を考え，その図形を直線$\ell$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とすると，$\displaystyle V=\pi \int_0^{\mkakko{カ} \pi} h^2 \, dp$となる．ここで，$p=f(t)$とおいて置換積分すれば，
\[ V=\frac{\pi}{[キ]} \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt \]
が成り立つ．$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt=\frac{[ク]}{[ケ]} \pi$より，$\displaystyle V=\frac{[コ]}{[サシ]} \pi^2$である．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について，
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である．
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である．
(3)$a,\ b$を整数とする．$a$を$13$で割ると$10$余り，$b$を$13$で割ると$7$余るとき，$a+b$，$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$，$[ケ]$である．また，$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である．
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり，そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある．
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき，
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ，$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは，関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である．このとき，もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である．
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$，$y \geqq 0$を満たすとき，$6x+3y$は$x=[ケ]$，$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり，$x=[スセ]$，$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる．
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき，$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である．

次の各問の$[　]$にあてはまる数または式を記入しなさい．

(1)$2016$の約数（$1$と$2016$も含める）の個数は$[　]$である．
(2)一般項が$a_{n+1}=2a_n$（ただし，$a_1=1$）で表される数列の第$n$項までの和は$[　]$である．
(3)$2^{28}$の桁数は$[　]$である．ただし，$0.3010<\log_{10}2<0.3011$である．
(4)方程式$2 \cos \theta+\sin \theta=1$の$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$における解$\theta$に対して$\tan \theta=[　]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)実数$\alpha,\ \beta$は，$\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha+\sin \beta=0 \\
\cos \alpha+\cos \beta=1
\end{array} \right.$を満たしている．$\cos (\alpha-\beta)$を求めなさい．

(2)次の不等式が表す領域を座標平面上に図示しなさい．
\[ (4x^2+9y^2-36)(4x^2-27y)>0 \]
(3)$2$つのさいころを同時に投げる．出る目の数の積を$n$とし，直線$3x+5y=n$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$(a,\ 0)$，$(0,\ b)$とする．$a$と$b$がどちらも自然数となる確率を求めなさい．

$0^\circ<\theta<{90}^\circ$のとき，$\displaystyle 4(1+\sin \theta)-\frac{3}{1-\sin \theta}$の最大値は$[タチ] \sqrt{[ツ]}+[テ]$である．