空間において，$3$点$\mathrm{A}(5,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 5)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$がある．以下の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下し，平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\ell \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，実数$\ell,\ m$の値を求めよ．
(4) 直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k \overrightarrow{\mathrm{AM}}$とおくとき，実数$k$の値と三角形$\mathrm{HBC}$の面積$T$を求めよ．
(5)原点$\mathrm{O}$を頂点，四角形$\mathrm{ABHC}$を底面とする四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABHC}$の体積$V$を求めよ．

$a$は実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2a,\ 3)$，$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある．次の問いに答えよ．

(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．

$a$は実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2a,\ 3)$，$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある．次の問いに答えよ．

(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．

$a$は実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2a,\ 3)$，$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある．次の問いに答えよ．

(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．

$a$は実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2a,\ 3)$，$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある．次の問いに答えよ．

(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．正の数$m$に対して，線分$\mathrm{PC}$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ m$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{b|}=3$，$|\overrightarrow{c|}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$であり，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとき，$m$の値を求めよ．

座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(t,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$がある．ここで，$t$は実数全体を動くものとする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{D}$，外心を$\mathrm{E}$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{DE}$の長さの$2$乗を$t$を用いて表し，それを$f(t)$とおく．関数$y=f(t)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=5$，$\mathrm{BC}=\mathrm{BD}=4$，$\mathrm{CD}=6$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
(3)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AM}$へ下ろした垂線と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，線分$\mathrm{BH}$の長さを求めよ．

座標空間に原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(2 \sqrt{3},\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 2 \sqrt{3},\ 1)$がある．次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$は正三角形であることを示せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となるような点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$を考える．
\[ \alpha=x_1+y_1 i,\quad \beta=x_2+y_2 i \]
とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{4} |\alpha \overline{\beta|-\overline{\alpha} \beta} \]
で表されることを示しなさい．ただし，$\overline{\alpha}$，$\overline{\beta}$はそれぞれ$\alpha,\ \beta$と共役な複素数である．
(2)$k$を$2$より大きい定数とする．$\alpha,\ \beta$が
\[ \alpha^2+\beta^2=1 \quad \text{かつ} \quad |\alpha-1|+|\alpha+1|=k \]
を満たすとき，次の各値は$\alpha,\ \beta$によらず一定であることを示しなさい．

(i) $|\alpha|^2+|\beta|^2$
(ii) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$