以下の問いに答えよ．

(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

以下の問いに答えよ．

(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

以下の問いに答えよ．

(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=\frac{n \left\{ 1+{(-1)}^{n+1} \right\}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まるものとして，次の各問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$を
\[ b_n=a_{2n-1},\quad c_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} {(-1)}^n a_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=\frac{n \left\{ 1+{(-1)}^{n+1} \right\}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まるものとして，次の各問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$を
\[ b_n=a_{2n-1},\quad c_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} {(-1)}^n a_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=\frac{n \left\{ 1+{(-1)}^{n+1} \right\}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まるものとして，次の各問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$を
\[ b_n=a_{2n-1},\quad c_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} {(-1)}^n a_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は初項が$a_1=1$，公差が正の定数$d$の等差数列とする．このとき，自然数の定数$p$を用いて
\[ b_n=a_na_{n+p} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定まる数列$\{b_n\}$について考える．ただし，$a_na_{n+p}$は$a_n$と$a_{n+p}$の積を表す．以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$が等差数列であることを示せ．さらに，数列$\{c_n\}$の初項$c_1$と公差$D$を$d,\ p$を用いて表せ．
(2)ある定数$C$を用いて
\[ \frac{1}{b_n}=C \left( \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+p}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と表すことができる．このとき，$C$を$d,\ p$を用いて表せ．
以下の問いでは，数列$\{b_n\}$が初項から順に
\[ b_1=7,\quad b_2=40,\quad b_3=91,\ \cdots \]
となる場合を考える．
(3)定数$d,\ p$および数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(4)数列$\{b_n\}$に対して，
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は初項$\displaystyle a_1=\frac{1}{3}$および漸化式
\[ (n+2)a_n-2(n+1)a_{n+1}+(n+1)a_na_{n+1}=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．以下の問いに答えよ．

(1)$a_2$を求めよ．
(2)すべての自然数$n$について$a_n \neq 0$が成り立つことを証明せよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．このとき，すべての自然数$n$について$S_n<2$が成り立つことを証明せよ．

$b_1=1,\ b_2=4,\ b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n+\frac{1}{n(n+1)}+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$b_1=1,\ b_2=4,\ b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n+\frac{1}{n(n+1)}+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．