「一致」について
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国立 埼玉大学 2016年 第4問$2$次関数$f(x)$に対して，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．
国立 福島大学 2016年 第2問関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とする．
(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい．
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい．
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき，$a,\ b$がみたす条件を求めなさい．
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい．
(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい．
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい．
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき，$a,\ b$がみたす条件を求めなさい．
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい．
国立 福島大学 2016年 第2問関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とする．
(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい．
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい．
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき，$a,\ b$がみたす条件を求めなさい．
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい．
(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい．
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい．
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき，$a,\ b$がみたす条件を求めなさい．
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい．
国立 熊本大学 2016年 第2問$1$つのさいころを$3$回投げる．$1$回目に出る目の数，$2$回目に出る目の数，$3$回目に出る目の数をそれぞれ$X_1,\ X_2,\ X_3$とし，$5$つの数
\[ 2,\quad 5,\quad 2-X_1,\quad 5+X_2,\quad X_3 \]
からなるデータを考える．以下の問いに答えよ．
(1)データの範囲が$7$以下である確率を求めよ．
(2)$X_3$がデータの中央値に等しい確率を求めよ．
(3)$X_3$がデータの平均値に等しい確率を求めよ．
(4)データの中央値と平均値が一致するとき，$X_3$が中央値に等しい条件付き確率を求めよ．
\[ 2,\quad 5,\quad 2-X_1,\quad 5+X_2,\quad X_3 \]
からなるデータを考える．以下の問いに答えよ．
(1)データの範囲が$7$以下である確率を求めよ．
(2)$X_3$がデータの中央値に等しい確率を求めよ．
(3)$X_3$がデータの平均値に等しい確率を求めよ．
(4)データの中央値と平均値が一致するとき，$X_3$が中央値に等しい条件付き確率を求めよ．
国立 徳島大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，次のように$6$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{R}^\prime$を定める．辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$，$p:(1-p)$に外分する点を$\mathrm{P}^\prime$とする．同様に，辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，外分する点を$\mathrm{Q}^\prime$とし，辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$，外分する点を$\mathrm{R}^\prime$とする．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$，$0<r<1$かつ$\displaystyle p \neq \frac{1}{2}$，$\displaystyle q \neq \frac{1}{2}$，$\displaystyle r \neq \frac{1}{2}$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行でないとする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の重心が一致するとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致することを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行であるとき，$2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$が成り立つことを示せ．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行でないとする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の重心が一致するとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致することを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行であるとき，$2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$が成り立つことを示せ．
国立 徳島大学 2016年 第3問$\triangle \mathrm{OAB}$の頂点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ b)$とする．辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$，$0<r<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$として，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$3$点$(0,\ 0)$，$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$を頂点とする三角形の面積は，$\displaystyle \frac{1}{2} |x_1y_2-x_2y_1|$で表されることを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$3$点$(0,\ 0)$，$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$を頂点とする三角形の面積は，$\displaystyle \frac{1}{2} |x_1y_2-x_2y_1|$で表されることを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
国立 宮崎大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
国立 宮崎大学 2016年 第2問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)上の試行を$3$回繰り返したとき，$3$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を求めよ．
(3)上の試行を$4$回繰り返したとき，$4$回の試行の中のどこかで，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが$2$回続けて起こり，かつ$3$回以上続けて起こらない確率を求めよ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)上の試行を$3$回繰り返したとき，$3$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を求めよ．
(3)上の試行を$4$回繰り返したとき，$4$回の試行の中のどこかで，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが$2$回続けて起こり，かつ$3$回以上続けて起こらない確率を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第5問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．