白玉$4$個と赤玉$2$個がはいっている袋から玉を$1$個取り出す試行を行う．このとき，次の問に答えなさい．

(1)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目にはじめて赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目に$2$個目の赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
(5)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を繰り返す．赤玉が取り出されたら試行は止める．$k$回目に赤玉が出て止める確率は$\displaystyle P_k=\frac{[サ]}{[シ]} \left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\mkakko{ソ}}$である．
また$\displaystyle S_k=(P_1)^2+(P_2)^2+\cdots +(P_k)^2=\frac{[タ]}{[チ]}-\frac{[ツ]}{[テ]} \left( \frac{[ト]}{[ナ]} \right)^{\mkakko{ニ}}$なので$S_k \geqq 0.19998$をみたす最小の$k$は$[ヌネ]$である．
ただし$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

放物線$y=1-4x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$と，この放物線の点$\mathrm{P}$を通る接線を$\ell$とおく．また，直線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$とで囲まれる図形の面積を$S(a)$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a=0$のとき，接線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$の交点の$x$座標は$x=[アイ]$，$[ウ]$である．また，$\displaystyle S(0)=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．

(2)$0 \leqq b$となるような$a$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \leqq a \leqq \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)接線$\ell$の方程式は$y=-[シ]ax+[ス]a^2+[セ]$であり，
$\displaystyle S(a)=\frac{[ソタ]}{[チ]} \left( [ツ]a^2+[テ]a+[ト] \right)^{\frac{\mkakko{ナ}}{\mkakko{ニ}}}$となる．
また$S(a)$が最小となるのは$\displaystyle a=\frac{[ヌネ]}{[ノ]}$のときである．

次の問いに答えよ．

(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．

(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．

(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．

以下の問に答えよ．

(1)直線$y=5x$と$y=ax$が${45}^\circ$で交わるとき，$\displaystyle a=\frac{[ナ]}{[ニ]}$または$\displaystyle a=\frac{[ヌネ]}{[ノ]}$である．
(2)$x^2-6x+4=0$の$2$つの解が$\tan \alpha$と$\tan \beta$のとき，$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{[ハヒ] \sqrt{[フ]}}{[ヘ]}$である．
(3)$-\pi \leqq x \leqq \pi$とする．$\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{2}+x \right)-\sin x$は，$\displaystyle x=\frac{[ホ] \pi}{[マ]}$のとき，最大値$\sqrt{[ミ]}$をとる．

赤玉$5$個，白玉$7$個の合計$12$個の玉が入っている袋から$4$個の玉を同時に取り出すとき，以下の問に答えよ．

(1)赤玉が$3$個以上取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．

(2)白玉が$2$個以上取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ヌネ]}{[ノハ]}$である．
(3)この袋に，さらに青玉を$3$個入れて合計$15$個にする．この袋の中から$4$個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも$1$個は赤玉か青玉である確率は$\displaystyle \frac{[ヒフ]}{[ヘホ]}$である．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の下で，関数$f(\theta)=-\sin 2\theta+\sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta)$を考える．

(1)$t=\sin \theta+\cos \theta$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$[$*$チ] \leqq t \leqq \sqrt{[ツ]}$である．
(2)$f(\theta)$を$t$の式で表すと，$[$*$テ]t^2+\sqrt{[ト]}t+[$*$ナ]$となる．
(3)$f(\theta)$が最大になるのは$\displaystyle \theta=\frac{[$*$ニ]}{[ヌネ]}\pi$のときで，最大値は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ]}$である．最小になるのは$\displaystyle \theta=\frac{[$*$ヒ]}{[フ]} \pi$のときで，最小値は$-\sqrt{[ヘ]}$である．

$xy$平面上に点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を中心とする円：$(x-1)^2+y^2=1$がある．この円周上に$4$点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{9}{5},\ \frac{3}{5})$，$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{13},\ \frac{5}{13})$，$\mathrm{C}(\alpha,\ \beta)$，$\mathrm{D}(\gamma,\ \delta)$がある．ただし，$\displaystyle \delta<-\frac{4}{5}$とする．$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$であり，三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{63}{65}$であるとする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は，$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である．

(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である．

(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である．

$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数とする．$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\displaystyle \mathrm{Q}(\frac{3}{2}\cos \theta,\ \frac{3}{2}\sin \theta)$がある．点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}:\mathrm{QR}=1:2$を満たす点とする．

(1)点$\mathrm{R}$が直線$y \cos \theta-x \sin \theta=0$上にあるとき，それらの点の座標は
\[ \left( \frac{[ク]}{[ケ]} \cos \theta,\ \frac{[コ]}{[サ]} \sin \theta \right),\quad \left( \frac{[シ]}{[ス]} \cos \theta,\ \frac{[セ]}{[ソ]} \sin \theta \right) \]
である．ただし，$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}>\frac{[シ]}{[ス]}$とする．
(2)$\mathrm{R}$の軌跡は方程式
\[ \left( x-\frac{[タ]}{[チ]} \cos \theta \right)^2+\left( y-\frac{[ツ]}{[テ]} \sin \theta \right)^2=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
が表す円$D(\theta)$である．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を動くとき，(2)で求めた$D(\theta)$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌネ]} \pi$である．

$x^3=1$の解のうち，虚数であるものの$1$つを$\omega$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{[ナ]}=-\frac{2}{3}$である．

(2)$\omega$に共役な複素数を$\overline{\omega}$とするとき，$(\overline{\omega}^4+3 \omega+1)(\omega^4+\overline{\omega}+3)=[ニ] \omega$である．
(3)$\omega+1$および$\overline{\omega}+1$を解とする$x$の$2$次方程式の$1$つは$x^2+[ヌネ]x+[ノ]=0$である．

次の問いに答えよ．

(1)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$4 \sin^2 \theta+2(1+\sqrt{3}) \cos \theta-(4+\sqrt{3})=0$を満たしている．このとき，$\theta=[テト]^\circ$，$[ナニ]^\circ$である．ただし，$[テト]^\circ<[ナニ]^\circ$とする．
(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$\displaystyle \tan \theta \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-3 \right)+3=0$を満たしている．このとき，$\theta=[ヌネ]^\circ$，$[ノハ]^\circ$である．ただし，$[ヌネ]^\circ<[ノハ]^\circ$とする．