次の問いに答えなさい．

(1)$m$を実数の定数とする．$x$についての$2$つの$2$次不等式

$x^2-4x+3<0 \qquad\hspace{2.65mm} \cdots\cdots \ ①$
$x^2-2mx-8m^2<0 \cdots\cdots \ ②$

を考える．$①$の解は
\[ [ア]<x<[イ] \]
である．
$①$を満たすすべての実数が$②$を満たすような$m$の値の範囲は
\[ m \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}, \frac{[カ]}{[キ]} \leqq m \]
である．
また，$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在しないような$m$の値の範囲は
\[ \frac{[クケ]}{[コ]} \leqq m \leqq \frac{[サ]}{[シ]} \]
である．
(2)$4$進法で表された$123_{(4)}$を$10$進法で表すと，$[スセ]$である．
整数$n$を$4$進法で表したとき，$3$桁になった．このとき，$n$のとり得る値の範囲を$10$進法で表すと
\[ [ソタ] \leqq n \leqq [チツ] \]
である．
$10$進法で表された$3^{20}$を$4$進法で表すと，その桁数は$[テト]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{3-i}{3+i}=\frac{[ア]-[イ]i}{[ウ]}$（ただし，$i^2=-1$）である．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2(k-4)x+2k=0$が重解をもつような定数$k$の値は小さい順に$[エ]$，$[オ]$である．
(3)$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2-6x+35$のグラフは，放物線$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2$を$x$軸方向に$[カ]$，$y$軸方向に$[キ]$だけ平行移動した放物線である．
(4)$10$個の値$1,\ 3,\ 8,\ 5,\ 8,\ [ク],\ 3,\ 7,\ 7,\ 1$からなるデータの平均値は$5$，最頻値は$[ケ]$，中央値は$[コ]$である．
(5)$x>0$において，$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right) \left( 2-\frac{9}{x} \right)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}$のとき，最小値$[スセ]$をとる．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個の数字を使ってできる$3$桁の整数は$[ソタ]$個あり，そのうち偶数のものは$[チツ]$個ある．
(7)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$\displaystyle \cos 3\theta=\frac{1}{2}$をみたす$\theta$のうち，最大のものは$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]} \pi$である．
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^3-3x+2) \, dx=\frac{[ニヌ]}{[ネ]}$である．

$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極大値$1$をとり，$x=1$で極小値$0$をとる．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$f^\prime(x)=ax(x-[ア])$（$a$は定数）と表せる．

(2)$(1)$より$\displaystyle f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}ax^3-\frac{[エ]}{[オ]}ax^2+b$（$b$は定数）と表せる．

(3)$(2)$と$f(x)$の極大値と極小値に関する条件から，$a=[カ]$，$b=[キ]$となる．よって，$f(x)=[ク]x^3-[ケ]x^2+[コ]$である．

(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[ス]}$，$[セ]$である．

(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．

一般項が$\displaystyle a_n=\sin \frac{3n \pi}{7}$で定義される数列$\{a_n\}$の最初の$n$項の和を$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．次の各問に答えよ．

(1)$a_n>0$となるための必要十分条件は，$n$を$[アイ]$で割った余りが$1$，$2$，$[ウ]$，$[エ]$，$[オカ]$，$[キク]$のいずれかとなることである．ただし，$[ウ]<[エ]<[オカ]<[キク]$とする．
(2)任意の自然数$n$に対し，$a_{n+\mkakko{ケ}}=-a_n$が成り立つ．
(3)$a_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[コサ]$で割った余りが$[シ]$または$[ス]$となることである．ただし，$[シ]<[ス]$とする．
(4)$S_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[セソ]$で割った余りが$[タ]$または$[チツ]$となることである．

$3$次関数$f(x)$は$x=-1$と$x=-5$で極値をとり，$f(0)=14$，$f(1)=64$とする．

(1)$f(x)=[ア]x^3+[イウ]x^2+[エオ]x+[カキ]$であり，
$f^\prime(x)=[ク]x^2+[ケコ]x+[サシ]$である．
(2)$f(x)$の極大値は$[スセ]$であり，極小値は$[ソ]$である．
(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数は$[タ]$個である．
(4)$f^\prime(x)=g(x)$とおく．曲線$y=g(x)$と$x$軸とで囲まれる図形$A$の面積は$[チツ]$である．図形$A$が直線$x=a$によって$2$つに分割され，左側と右側の部分の面積の比が$5:27$であるならば，$a$の値は$[テト]$である．

放物線$y=-x^2+8x$と直線$y=2x+t (t \geqq 0)$と直線$x=0$，$x=6$とで囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$S(12)=[アイ]$である．
(2)$S(t)$が$3$つの部分の面積の和になるのは$[ウ]<t<[エ]$のときである．このとき$S(t)$は
\[ [オ](t-[カ])+\frac{[キ]}{[ク]}([ケ]-t) \sqrt{[ケ]-t} \]
である．
(3)以下$[ウ]<t<[エ]$で考える．$A=\sqrt{[ケ]-t}$とおく．$S(t)$を$A$で表すと
\[ S(t)=\frac{[コ]}{[サ]}A^3-[シ]A^2+[スセ] \]
となる．また$\displaystyle A=\frac{[ソ]}{[タ]}$のとき$S(t)$は最小値$\displaystyle \frac{[チツ]}{[テ]}$をとる．

$a$を定数とする．関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=7x+\int_1^x (at+5) \, dt$，$f^\prime(1)=4$で定める．

(1)$f(1)=[シ]$である．
(2)$a=[スセ]$である．
(3)$f(x)=[ソタ]x^2+[チツ]x-[テ]$である．
(4)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ト]}{[ナ]}$で最大値$[ニ]$をとる．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x \overrightarrow{\mathrm{AN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=y \overrightarrow{\mathrm{BM}}$（$x,\ y$は実数）とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-[コ]x) \overrightarrow{a}+\frac{[サ]}{[シ]} x \overrightarrow{b}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$y,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[ス]}{[セ]} y \overrightarrow{a}+(1-[ソ] y) \overrightarrow{b}$である．
(3)$x,\ y$の値はそれぞれ$\displaystyle x=\frac{[タ]}{[チツ]},\ y=\frac{[テ]}{[トナ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OPN}$の面積は$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の$\displaystyle \frac{[ニヌ]}{[ネノ]}$倍である．

次の問いに答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)不等式
\[ 1+\frac{1}{\log_2 x}-\frac{3}{\log_3 x}<0 \]
を解くと，
\[ [タ]<x<\frac{[チツ]}{[テ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=8^x+8^{-x}-5(4^x+4^{-x})+6(2^x+2^{-x})$がある．ただし，$x$は全ての実数を動く．

(i) $2^x+2^{-x}=t$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$t \geqq [$*$ ト]$である．
(ii) $4^x+4^{-x}$，$8^x+8^{-x}$を$t$の式で表すと
\[ 4^x+4^{-x}=t^2+[$* ナ$],\quad 8^x+8^{-x}=t^3+[$* ニ$]t \]
である．
(iii) $f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=t^3+[$*$ ス]t^2+[$*$ ネ]t+[$*$ ノハ]$である．
\mon[$\tokeishi$] $f(x)$の最小値は$[$*$ ヒ]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=3+\sqrt{3}$である．$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に垂線を下ろし，垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AH}=\sqrt{[サ]},\quad \angle \mathrm{BAC}=[シスセ]^\circ \]
である．さらに，点$\mathrm{A}$が三角形$\mathrm{DBC}$の内接円の中心となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，
\[ \mathrm{AD}^2=[ソタ]+[チツ] \sqrt{[テ]} \]
である．