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金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について,
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である.
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である.
(3)$a,\ b$を整数とする.$a$を$13$で割ると$10$余り,$b$を$13$で割ると$7$余るとき,$a+b$,$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$,$[ケ]$である.また,$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である.
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり,そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある.
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき,
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である.
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ,$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは,関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である.このとき,もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である.
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$,$y \geqq 0$を満たすとき,$6x+3y$は$x=[ケ]$,$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり,$x=[スセ]$,$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる.
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき,$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である.
埼玉工業大学 私立 埼玉工業大学 2016年 第2問
$k,\ a,\ b,\ c$を実数とする.$x$の$4$次式$x^4-4x^3+5x^2+kx-8$を因数分解すると
\[ (x^2+ax+4)(x^2+bx+c) \]
となる.このとき,

(1)$c=[ケコ]$である.
(2)$a<b$ならば,$a=[サシ]$,$b=[スセ]$であり,このとき$k=[ソ]$となる.
$a \geqq b$ならば,$a=[スセ]$,$b=[サシ]$であり,このとき$k=[タチツ]$となる.
(3)$(x^2+ax+4)(x^2+bx+c)=0$を満たす正の実数$x$は,$a<b$のときは,$[テ]$であり,$a \geqq b$のときは,
\[ \frac{[ト]+\sqrt{[ナニ]}}{[ヌ]} \]
である.
獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2015年 第1問
次の問いに答えなさい.

(1)定数$a$を正の実数とする.関数
\[ f(\theta)=4 \sin 2\theta+6 \cos^2 \theta+4a(\sin \theta+2 \cos \theta)+a^2+1 \]
の$0 \leqq \theta \leqq \pi$における最大値を$M$,最小値を$m$とする.
$t=\sin \theta+2 \cos \theta$とおく.$f(\theta)$を$t$を用いて表すと
\[ f(\theta)=[ア]t^2+4at+a^2-[イ] \]
である.
$M=a^2+[ウ] \sqrt{[エ]}a+[オ]$であり,これを与える$\theta$の値を$\theta_0$とすると,$\displaystyle \tan \theta_0=\frac{[カ]}{[キ]}$である.
また,$M-m=14$となる$a$の値は,$a=\sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]}$である.
(2)定数$m$を正の整数とする.
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(21,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ m)$がある.点$(1,\ 0)$と直線$\mathrm{AB}$との距離を$d$とすると
\[ d=\frac{[コサ]m}{\sqrt{m^2+[シスセ]}} \]
である.
$d$が有理数となるような$m$の値は全部で$[ソ]$個あり,そのうち$m$の値が最大のものは$m=[タチツ]$である.
また,$d$が整数となるとき,$m=[テト]$,$d=[ナニ]$である.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2014年 第3問
$x$座標,$y$座標がともに整数である点(格子点)に対し,座標$(1,\ 0)$を番号$1$,座標$(2,\ 0)$を番号$2$,座標$(2,\ 1)$を番号$3$として,$x$座標が大きくなるにしたがい,図のように点を積み重ねていき,番号$4,\ 5,\ \cdots$と付けていく.このとき,以下の問に答えよ.
(図は省略)

(1)座標$(30,\ 29)$の番号は$[タチツ]$である.

(2)座標$(n,\ 0)$の番号は$\displaystyle \frac{n^2+[テト]n+[ナ]}{2}$である.

(3)番号が$98$となる座標は$([ニヌ],\ [ネ])$である.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2012年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$x=\sqrt{7}-\sqrt{3}$,$y=\sqrt{7}+\sqrt{3}$のとき,$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$であり,$\displaystyle \frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}$である.
(2)$(9x-5)(2x+3)+10x-41=([カ]x-[キ])([ク]x+[ケ])$である.
(3)連立不等式$\displaystyle \frac{5x-7}{3}-1 \leqq x+2<\frac{4x-3}{2}$の解は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<x \leqq [シ]$である.
(4)等式$2 |x-1|+x-7=0$を満たす実数$x$の値は$[スセ]$と$[ソ]$である.
(5)男子$4$人,女子$3$人が$1$列に並ぶとき,男女が交互に並ぶ並び方は$[タチツ]$通りである.
(6)$1$から$9$までの整数を$1$つずつ書いたカードが$9$枚ある.この中から同時に$2$枚を取り出したとき,それらの整数の積が偶数である確率は$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナニ]}$である.
(7)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$とする.$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{5}$のとき,
\[ \sin (180^\circ-\theta)+\cos (180^\circ-\theta)+\tan (90^\circ-\theta)=\frac{[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]} \]
である.
(8)$a,\ b$を正の整数の定数とする.$2$次関数$y=2x^2+(a-2)x+3-b$のグラフが$x$軸と接するとき,$a=[オ]$,$b=[カ]$,あるいは$a=[キ]$,$b=[ク]$である.ただし,$[オ]<[キ]$である.
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「タチツ」とは・・・

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