表の出る確率が$r$，裏の出る確率が$1-r$であるコインがある．このコインを繰り返し投げ，表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が$2$になったときにコイン投げを終了する．ちょうど$2n$回で終了する確率を$p_n$とし，$2n$回以下で終了する確率を$q_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$p_n$を求めよ．
(2)$q_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき，$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．

座標平面上で円$x^2+y^2=1$に内接する正六角形で，点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考える．この正六角形の頂点を$\mathrm{P}_0$から反時計まわりに順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$とする．ある頂点に置かれている$1$枚のコインに対し，$1$つのサイコロを$1$回投げ，出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点上を動かす．


\mon[（規則）$(ⅰ)$] $1$から$5$までの目が出た場合は，出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす．例えば，コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす．
(ii) $6$の目が出た場合は，$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす．ただし，コインが$x$軸上にあるときは動かさない．例えば，コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす．

はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き，$1$つのサイコロを続けて何回か投げて，$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える．以下の問いに答えよ．

(1)$2$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(2)$3$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．

袋の中に，赤玉が$15$個，青玉が$10$個，白玉が$5$個入っている．袋の中から玉を$1$個取り出し，取り出した玉の色に応じて，以下の操作で座標平面に置いたコインを動かすことを考える．


\mon[（操作）] コインが点$(x,\ y)$にあるものとする．赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,\ y)$に移動，青玉を取り出したときには点$(x,\ y+1)$に移動，白玉を取り出したときには点$(x-1,\ y-1)$に移動し，取り出した球は袋に戻す．

最初に原点$(0,\ 0)$にコインを置き，この操作を繰り返して行う．指定した回数だけ操作を繰り返した後，コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)操作を$n$回繰り返したとき，白玉を$1$度だけ取り出したとする．このとき，到達点となり得る点をすべて求めよ．
(2)操作を$n$回繰り返したとき，到達点となり得る点の個数を求めよ．
(3)座標平面上の$4$点$(1,\ 1)$，$(-1,\ 1)$，$(-1,\ -1)$，$(1,\ -1)$を頂点とする正方形$D$を考える．操作を$n$回繰り返したとき，到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする．$P_3$を求めよ．
(4)自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ．

表の出る確率が$r$，裏の出る確率が$1-r$であるコインがある．このコインを繰り返し投げ，表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が$2$になったときにコイン投げを終了する．ちょうど$2n$回で終了する確率を$p_n$とし，$2n$回以下で終了する確率を$q_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$p_n$を求めよ．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty np_n$の和を求めよ．ただし，$0 \leqq s<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ns^n=0$であることを用いてもよい．
(3)$\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき，$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の値を求めなさい．

(i) $\perm{5}{2}$
(ii) $\comb{5}{4}$

(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$1$枚のコインを投げ，両方とも表が出れば$\mathrm{A}$の勝ち，それ以外は$\mathrm{B}$の勝ちとなるゲームを行う．このゲームを繰り返し，先に$3$勝した方を優勝とする．このとき，以下の確率を求めなさい．

(i) $\mathrm{A}$が$4$戦目で優勝する．
(ii) $\mathrm{A}$が$3$勝$2$敗で優勝する．
(iii) $\mathrm{A}$が優勝する．

三角形があり，その頂点を反時計回りの順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とおく．表と裏の出現確率が等しいコインを投げ，表が出たら時計回りに隣り合う次の頂点へ，裏が出たら反時計回りに隣り合う次の頂点へ移動する試行を繰り返し行う．たとえば，頂点$\mathrm{A}$にいてコインの裏が出たならば，頂点$\mathrm{B}$へ移動することになる．

頂点$\mathrm{A}$から移動を開始するとき，$n$回の試行の後に頂点$\mathrm{A}$にいる確率を$P_n(\mathrm{A})$とする．このとき，以下の各問に答えよ．ただし，$n$は$n \geqq 1$である整数とする．

(1)$P_1(\mathrm{A})$を求めよ．
(2)$P_4(\mathrm{A})$を求めよ．
(3)$n \geqq 2$のとき$P_n(\mathrm{A})$を$P_{n-1}(\mathrm{A})$の式で表せ．
(4)$n \geqq 2$のとき$P_n(\mathrm{A})-P_{n-1}(\mathrm{A})$を$n$の式で表せ．
(5)$P_n(\mathrm{A})$を求めよ．

$1$個のサイコロを$1$回投げ，出た目の数と同じ回数だけ$1$枚のコインを繰り返し投げる．以下の問題に答えよ．

(1)サイコロの出た目が$4$であった場合に，コインの表の出た回数と裏の出た回数が同じである確率を求めよ．
(2)コインの表と裏が交互に出る確率を求めよ．ただし，交互とは複数回コインを投げて表と裏が互い違いに出る場合をいう．
(3)コインの表の出た回数と裏の出た回数が同じである確率を求めよ．
(4)コインの表の出た回数が裏の出た回数より多い確率を求めよ．
(5)コインの表の出た回数と裏の出た回数が同じである場合に，サイコロの出た目が$4$であった確率を求めよ．

整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．

(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．

整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．

(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．

整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．

(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．