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国立 高知大学 2016年 第3問ある箱に$1$から$5$までの整数のうちひとつが書かれたカードがそれぞれ$1$枚入っている．そこから$1$枚カードをひき，数字を確認してから元の箱に戻す．このような操作を繰り返したとき，$k$回目に取り出したカードの数字を$A_k$とし，
\[ T_n=\sum_{k=1}^n A_k \]
とする．このとき，$T_n$が奇数となる確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．
\[ T_n=\sum_{k=1}^n A_k \]
とする．このとき，$T_n$が奇数となる確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．
国立 奈良女子大学 2016年 第3問$n$を正の整数とする．$1$から$6n$までの番号がつけられた$6n$枚のカードから$2$枚を同時に選び，選んだ$2$枚の番号の積を$X$とする．$X$が$3$の倍数となる確率を$P_n$，$X$が$6$の倍数となる確率を$Q_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$P_1$，$Q_1$をそれぞれ求めよ．
(2)$P_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$Q_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$をそれぞれ求めよ．
(1)$P_1$，$Q_1$をそれぞれ求めよ．
(2)$P_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$Q_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$をそれぞれ求めよ．
国立 島根大学 2016年 第1問$1$から$5$までの数字を$1$つずつ書いた$5$枚のカードが箱に入っている．箱の中から$1$枚のカードを取り出してもとに戻すことを$n$回続けて行う．$k$回目に取り出したカードの数字を$a_k$とし，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$が偶数である確率を$p_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3)$p_n$を求めよ．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3)$p_n$を求めよ．
国立 島根大学 2016年 第1問$1$から$5$までの数字を$1$つずつ書いた$5$枚のカードが箱に入っている．箱の中から$1$枚のカードを取り出してもとに戻すことを$n$回続けて行う．$k$回目に取り出したカードの数字を$a_k$とし，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$が偶数である確率を$p_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3)$p_n$を求めよ．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3)$p_n$を求めよ．
国立 名古屋大学 2016年 第2問$n$を正の整数とし，$k$を$1 \leqq k \leqq n+2$を満たす整数とする．$n+2$枚のカードがあり，そのうちの$1$枚には数字$0$が，他の$1$枚には数字$2$が，残りの$n$枚には数字$1$が書かれている．この$n+2$枚のカードのうちから無作為に$k$枚のカードを取り出すとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$1$以上になる確率を求めよ．
(2)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$2$となる確率$Q_n(k)$を求めよ．
(3)与えられた$n$に対して，確率$Q_n(k)$が最大となる$k$の値と，その最大値を求めよ．
(1)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$1$以上になる確率を求めよ．
(2)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$2$となる確率$Q_n(k)$を求めよ．
(3)与えられた$n$に対して，確率$Q_n(k)$が最大となる$k$の値と，その最大値を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第3問$3$が書かれたカードが$10$枚，$5$が書かれたカードが$10$枚，$10$が書かれたカードが$10$枚，全部で$30$枚のカードが箱の中にある．この中から$1$枚ずつカードを取り出していき，取り出したカードに書かれている数の合計が$10$以上になった時点で操作を終了する．ただし各カードには必ず$3,\ 5,\ 10$いずれかの数が$1$つ書かれているものとし，取り出したカードは箱の中に戻さないものとする．次の問いに答えよ．
(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．
(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第3問$3$が書かれたカードが$10$枚，$5$が書かれたカードが$10$枚，$10$が書かれたカードが$10$枚，全部で$30$枚のカードが箱の中にある．この中から$1$枚ずつカードを取り出していき，取り出したカードに書かれている数の合計が$10$以上になった時点で操作を終了する．ただし各カードには必ず$3,\ 5,\ 10$いずれかの数が$1$つ書かれているものとし，取り出したカードは箱の中に戻さないものとする．次の問いに答えよ．
(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．
(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．
国立 大阪教育大学 2016年 第1問$1$から$20$までの整数を$1$つずつ書いた$20$枚のカードが入った袋がある．その袋からカードを$2$回引く．ただし，$1$回目に引いたカードを袋に戻してから$2$回目のカードを引く．$1$回目に引いたカードに書かれた整数を$a$とし，$2$回目に引いたカードに書かれた整数を$b$とする．
(1)$a,\ b$が$2$または$3$を公約数にもつ確率を求めよ．
(2)$a,\ b$が$2$または$3$または$5$を公約数にもつ確率を求めよ．
(3)$n$を$2$以上$40$以下の整数とする．$a+b=n$となる確率を，$n$を用いて表せ．
(4)$n$を$1$以上$20$以下の整数とする．$a,\ b$の最小値が$n$以下となる確率を，$n$を用いて表せ．
(1)$a,\ b$が$2$または$3$を公約数にもつ確率を求めよ．
(2)$a,\ b$が$2$または$3$または$5$を公約数にもつ確率を求めよ．
(3)$n$を$2$以上$40$以下の整数とする．$a+b=n$となる確率を，$n$を用いて表せ．
(4)$n$を$1$以上$20$以下の整数とする．$a,\ b$の最小値が$n$以下となる確率を，$n$を用いて表せ．
国立 佐賀大学 2016年 第4問$1$から$5$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつある．これらから$4$枚を選び，横$1$列に並べる．並べられたカードに書かれた数字を左から順に$a,\ b,\ c,\ d$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)カードの並べ方の総数を求めよ．
(2)次のルールのもとで，$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ．
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば，$b$と$c$のカードを捨てる．
$a<b<d<c$ならば，$b$と$d$のカードを捨てる．
$b<a<c<d$ならば，$a$と$c$のカードを捨てる．
$b<a<d<c$ならば，$a$と$d$のカードを捨てる．
その他は何も捨てない．
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで，何も捨てない確率を求めよ．
(1)カードの並べ方の総数を求めよ．
(2)次のルールのもとで，$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ．
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば，$b$と$c$のカードを捨てる．
$a<b<d<c$ならば，$b$と$d$のカードを捨てる．
$b<a<c<d$ならば，$a$と$c$のカードを捨てる．
$b<a<d<c$ならば，$a$と$d$のカードを捨てる．
その他は何も捨てない．
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで，何も捨てない確率を求めよ．
国立 佐賀大学 2016年 第4問$1$から$5$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつある．これらから$4$枚を選び，横$1$列に並べる．並べられたカードに書かれた数字を左から順に$a,\ b,\ c,\ d$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)カードの並べ方の総数を求めよ．
(2)次のルールのもとで，$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ．
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば，$b$と$c$のカードを捨てる．
$a<b<d<c$ならば，$b$と$d$のカードを捨てる．
$b<a<c<d$ならば，$a$と$c$のカードを捨てる．
$b<a<d<c$ならば，$a$と$d$のカードを捨てる．
その他は何も捨てない．
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで，何も捨てない確率を求めよ．
(1)カードの並べ方の総数を求めよ．
(2)次のルールのもとで，$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ．
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば，$b$と$c$のカードを捨てる．
$a<b<d<c$ならば，$b$と$d$のカードを捨てる．
$b<a<c<d$ならば，$a$と$c$のカードを捨てる．
$b<a<d<c$ならば，$a$と$d$のカードを捨てる．
その他は何も捨てない．
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで，何も捨てない確率を求めよ．