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玉川大学 私立 玉川大学 2016年 第1問
次の$[ ]$を埋めよ.

(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$.

(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で,$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である.

(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である.このとき,$A$,$B$,$C$は,
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である.
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は,$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である.
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき,
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である.
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は,$x=[ハ]$のとき,最大値$[ヒフ]$をとり,$x=[ヘ]$のとき,最小値$[ホ]$をとる.
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき,


$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$


が成り立つ.
東京薬科大学 私立 東京薬科大学 2016年 第1問
次の問に答えよ.ただし,$*$については$+,\ -$の$1$つが入る.

(1)$x^2+5x+1=0$のとき,$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である.

(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき,$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$,$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である.

(3)点$(4,\ 2)$を通り,傾きが$m$の直線$\ell$が,円$C:x^2+y^2=4$に接するとき,$\displaystyle m=[ケ]$,$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である.

(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$,容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている.今,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し,$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ,$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ,$2$つの容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった.このとき,容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である.ただし,質量パーセント濃度とは溶液(本問の場合,食塩水)の質量に対する溶質(本問の場合,食塩)の質量の割合を百分率($\%$)で表したものである.
東洋大学 私立 東洋大学 2016年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると,
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる.
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき,$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で,そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$,$y=[コ]$である.
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$,$\mathrm{BC}=8$,$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$,$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする.このとき,線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である.
(4)$k$を定数とするとき,方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である.
近畿大学 私立 近畿大学 2016年 第3問
$i$を虚数単位とする.異なる$3$つの複素数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の間に等式$\gamma-i \beta=(1-i) \alpha$が成り立つものとする.さらに,$\alpha$は方程式$|\alpha-2|=|\alpha-2 \sqrt{3|i}$を満たすとする.複素数平面において$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$,$\mathrm{B}(\beta)$,$\mathrm{C}(\gamma)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$を考える.

(1)$\angle \mathrm{BAC}={[アイ]}^\circ$,$\angle \mathrm{ABC}={[ウエ]}^\circ$,$\angle \mathrm{ACB}={[オカ]}^\circ$である.

(2)点$\mathrm{A}$が虚軸上にあるとき,$\displaystyle \alpha=\frac{[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]}i$である.さらに点$\mathrm{B}$が実軸上にあるとすると,点$\mathrm{C}$は方程式
\[ |\gamma|=|\gamma-\delta| \quad \text{(ただし$\delta$は$0$と異なる定数)} \]
を満たす.このとき$\displaystyle \delta=\frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$である.

(3)点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$がそれぞれ,実軸上,虚軸上にあるとき
\[ \alpha=[ス]-\sqrt{[セ]}+\left( [ソタ]+\sqrt{[チ]} \right) i \]
である.さらに,$\gamma$が方程式$|\gamma-2|=|\gamma-2 \sqrt{3|i}$を満たすとき
\[ \beta=\frac{[ツ]-[テ] \sqrt{[ト]}}{[ナ]} \]
である.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2015年 第1問
関数$f(x)=\sqrt{7x-3}-1$について考える.

(1)$f(x)$の逆関数は$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{[ア]}{[イ]}(x^2+[ウ]x+[エ]) (x \geqq [オカ])$である.
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$との交点の座標は$([キ],\ [ク])$,$([ケ],\ [コ])$である.ただし,$[キ]<[ケ]$とする.
(3)不等式$f^{-1}(x) \leqq f(x)$の解は$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である.
北海道薬科大学 私立 北海道薬科大学 2015年 第3問
$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{3} \left( 0<\theta<\frac{3}{4} \pi \right)$であるとする.

(1)$\sin \theta \cos \theta$の値は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である.

(2)$\displaystyle \sin^3 \theta-\cos^3 \theta=\frac{[ウエ]}{[オカ]}$,$\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コサ]}$である.

(3)$\displaystyle \tan \theta=\frac{[シ]+\sqrt{[スセ]}}{[ソ]}$である.
東京医科大学 私立 東京医科大学 2015年 第2問
次の$[ ]$を埋めよ.

(1)$\displaystyle \int_0^1 {\left( x \sqrt{1-x^2} \right)}^3 \, dx=\frac{[ア]}{[イウ]}$である.
(2)座標平面における曲線$\displaystyle C:y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3} \sqrt{x} (x>0)$上に点$\mathrm{P}$をとり,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$とを結ぶ線分$\mathrm{OP}$を考える.線分$\mathrm{OP}$と曲線$C$により囲まれた図形の面積を$A$とし,線分$\mathrm{OP}$を一辺とする正方形の面積を$S$とする.点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき,面積比$\displaystyle \frac{A}{S}$のとり得る最大値を$M$とすれば$\displaystyle M=\frac{[エ]}{[オカ]}$である.
東邦大学 私立 東邦大学 2015年 第2問
等差数列$\{a_n\}$が,$a_{15}+a_{23}=-240$,$a_{19}+a_{20}+a_{21}=-318$を満たしている.このとき,公差は$[ウエ]$であり,和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$は$n=[オカ]$のとき最小となる.
東邦大学 私立 東邦大学 2015年 第7問
$e$を自然対数の底とする.関数$f(x)=(e^x)^{e^x}$は,$x=[オカ]$のとき極値をとる.
東邦大学 私立 東邦大学 2015年 第11問
$x$と$y$を変数とする関数$f(x,\ y)=9^{x+1}3^y+3^{2x-y}+3^{y+3}9^{-x}+3^{1-2x-y}$は$\displaystyle (x,\ y)=\left( \frac{[ア]}{[イ]},\ [ウエ] \right)$のとき,最小値$[オカ] \sqrt{[キ]}$をとる.
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