「エオ」について
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私立 埼玉工業大学 2014年 第1問実数$a,\ b$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2^{2a}+5^{2b}=41 \\
2^{a-2} \cdot 5^b=5
\end{array} \right. \]
を満たす．このとき，
\[ 2^{2a}+5^{2b}=(2^a+5^b)^2-[ア] \cdot 2^a \cdot 5^b,\quad 2^{a-2} \cdot 5^b=\frac{1}{[イ]} 2^a \cdot 5^b \]
に注意すると，
\[ 2^a+5^b=[ウ],\quad 2^a \cdot 5^b=[エオ] \]
である．解と係数の関係より，$a,\ b$の値は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a=[カ] \\
b=[キ]
\end{array} \right. \quad \text{と} \quad \left\{ \begin{array}{l}
a=\log_2 [ク] \\
b=\log_5 [ケ]
\end{array} \right. \]
である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2^{2a}+5^{2b}=41 \\
2^{a-2} \cdot 5^b=5
\end{array} \right. \]
を満たす．このとき，
\[ 2^{2a}+5^{2b}=(2^a+5^b)^2-[ア] \cdot 2^a \cdot 5^b,\quad 2^{a-2} \cdot 5^b=\frac{1}{[イ]} 2^a \cdot 5^b \]
に注意すると，
\[ 2^a+5^b=[ウ],\quad 2^a \cdot 5^b=[エオ] \]
である．解と係数の関係より，$a,\ b$の値は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a=[カ] \\
b=[キ]
\end{array} \right. \quad \text{と} \quad \left\{ \begin{array}{l}
a=\log_2 [ク] \\
b=\log_5 [ケ]
\end{array} \right. \]
である．
私立 千葉工業大学 2014年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle x<\frac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$をみたす最大の整数$x$は$[アイ]$である．
(2)等式$\displaystyle \frac{x+5}{x^2+x-2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[ウ]$，$b=[エオ]$である．
(3)点$(-4,\ a)$と直線$3x+4y-1=0$との距離が$1$であるとき，$a=[カ]$または$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \left( x-\frac{2}{3} \right)^9$の展開式において，$x^8$の係数は$[ケコ]$であり，$x^7$の係数は$[サシ]$である．
(5)$\overrightarrow{a}=(3,\ t+1,\ 1)$と$\displaystyle \overrightarrow{b}=\left( 2,\ -3,\ \frac{3}{2}t \right)$が垂直であるとき，$t=[ス]$である．
(6)$\displaystyle (5^{\frac{1}{3}}-5^{-\frac{1}{3}})(5^{\frac{2}{3}}+1+5^{-\frac{2}{3}})=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(7)$\log_{10}2=p$とおくと，$\log_{10}5=[チ]-p$であり，$\displaystyle \log_4 500=\frac{[ツ]-p}{[テ]p}$である．
(8)$\displaystyle \int_{-1}^2 (-x^2+3 |x|) \, dx=\frac{[ト]}{[ナ]}$である．
(1)$\displaystyle x<\frac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$をみたす最大の整数$x$は$[アイ]$である．
(2)等式$\displaystyle \frac{x+5}{x^2+x-2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[ウ]$，$b=[エオ]$である．
(3)点$(-4,\ a)$と直線$3x+4y-1=0$との距離が$1$であるとき，$a=[カ]$または$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \left( x-\frac{2}{3} \right)^9$の展開式において，$x^8$の係数は$[ケコ]$であり，$x^7$の係数は$[サシ]$である．
(5)$\overrightarrow{a}=(3,\ t+1,\ 1)$と$\displaystyle \overrightarrow{b}=\left( 2,\ -3,\ \frac{3}{2}t \right)$が垂直であるとき，$t=[ス]$である．
(6)$\displaystyle (5^{\frac{1}{3}}-5^{-\frac{1}{3}})(5^{\frac{2}{3}}+1+5^{-\frac{2}{3}})=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(7)$\log_{10}2=p$とおくと，$\log_{10}5=[チ]-p$であり，$\displaystyle \log_4 500=\frac{[ツ]-p}{[テ]p}$である．
(8)$\displaystyle \int_{-1}^2 (-x^2+3 |x|) \, dx=\frac{[ト]}{[ナ]}$である．
私立 近畿大学 2014年 第3問$a,\ b$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x-a}{b}}+2} \quad (x>0) \]
を考える．
(1)$x>a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=[ア]$であり，$x<a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)曲線$y=f(x)$の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[エオ]}{[カ]b}x+\frac{a+[キ]b}{[ク]b}$である．
(3)$\displaystyle b=\frac{1}{3}$とする．$t=e^{3(x-a)}$とおくと，$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{[ケ]t}$であり，正の定数$c$に対して，
\[ \int_a^{a+c}f(x) \, dx=\frac{1}{[コ]} \log \left( \frac{[サ]e^{3c}}{e^{3c}+[シ]} \right) \]
となる．また，正の定数$p,\ q$が，$\displaystyle \int_{a-q}^{a+p} f(x) \, dx=\frac{4}{3}p$を満たすとき，
\[ q=\frac{1}{[ス]} \log \left( \frac{e^{[セ]p}+[ソ]e^{[タ]p}-1}{[チ]} \right) \]
となる．
\[ f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x-a}{b}}+2} \quad (x>0) \]
を考える．
(1)$x>a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=[ア]$であり，$x<a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)曲線$y=f(x)$の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[エオ]}{[カ]b}x+\frac{a+[キ]b}{[ク]b}$である．
(3)$\displaystyle b=\frac{1}{3}$とする．$t=e^{3(x-a)}$とおくと，$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{[ケ]t}$であり，正の定数$c$に対して，
\[ \int_a^{a+c}f(x) \, dx=\frac{1}{[コ]} \log \left( \frac{[サ]e^{3c}}{e^{3c}+[シ]} \right) \]
となる．また，正の定数$p,\ q$が，$\displaystyle \int_{a-q}^{a+p} f(x) \, dx=\frac{4}{3}p$を満たすとき，
\[ q=\frac{1}{[ス]} \log \left( \frac{e^{[セ]p}+[ソ]e^{[タ]p}-1}{[チ]} \right) \]
となる．
私立 近畿大学 2014年 第3問一般項が
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{13}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n \right\} \]
で与えられた数列$\{a_n\}$を考える．
(1)この数列の初項$a_1$の値は$[ア]$，第$2$項$a_2$の値は$[イ]$である．
(2)この数列は，漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす．
(3)この数列の第$7$項$a_7$の値は$[エオ]$である．
(4)この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．このとき
\[ a_{n+2}=[カ]+[キ]S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．
(5)この数列には，$1$桁の素数$[ク]$の倍数は現れない．
(6)$(4)$で与えられた$S_n$が$10000$以上となるような最小の$n$の値は$[ケコ]$である．
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{13}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n \right\} \]
で与えられた数列$\{a_n\}$を考える．
(1)この数列の初項$a_1$の値は$[ア]$，第$2$項$a_2$の値は$[イ]$である．
(2)この数列は，漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす．
(3)この数列の第$7$項$a_7$の値は$[エオ]$である．
(4)この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．このとき
\[ a_{n+2}=[カ]+[キ]S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．
(5)この数列には，$1$桁の素数$[ク]$の倍数は現れない．
(6)$(4)$で与えられた$S_n$が$10000$以上となるような最小の$n$の値は$[ケコ]$である．
私立 金沢工業大学 2014年 第3問$m$を定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，円$x^2+y^2=4$と直線$y=mx+4$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする．
(1)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[アイ] m}{[ウ]+m^2},\ \alpha\beta=\frac{[エオ]}{[ウ]+m^2}$である．
(2)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{[カ] \sqrt{m^2-[キ]}}{\sqrt{[ク]+m^2}}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$のとき，$m=\pm \sqrt{[ケ]}$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[コ] \sqrt{[サ]}$である．
(1)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[アイ] m}{[ウ]+m^2},\ \alpha\beta=\frac{[エオ]}{[ウ]+m^2}$である．
(2)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{[カ] \sqrt{m^2-[キ]}}{\sqrt{[ク]+m^2}}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$のとき，$m=\pm \sqrt{[ケ]}$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[コ] \sqrt{[サ]}$である．
私立 九州産業大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^3+\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^3=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)関数$y=-3x^2+6x (0 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[ウ]$で，最小値は$[エオ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x+3=0$の解は$\displaystyle x=\frac{[カ] \pm \sqrt{[キ]}i}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{2} (0 \leqq \theta \leqq {90}^\circ)$のとき
(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(5)正方形$\mathrm{ABCD}$の各辺に赤，青，黄，緑のいずれかの色を塗る．ただし，同じ色を$2$度以上使ってもよいものとする．
(i) 辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$が赤色になる塗り方は$[シス]$通りある．
(ii) $3$つの辺が赤色で，残りの$1$つの辺は赤色以外になる塗り方は$[セソ]$通りある．
(iii) 向かい合う辺は同じ色であるが，すべての辺が同じ色とはなっていない塗り方は$[タチ]$通りある．
(1)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^3+\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^3=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)関数$y=-3x^2+6x (0 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[ウ]$で，最小値は$[エオ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x+3=0$の解は$\displaystyle x=\frac{[カ] \pm \sqrt{[キ]}i}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{2} (0 \leqq \theta \leqq {90}^\circ)$のとき
(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(5)正方形$\mathrm{ABCD}$の各辺に赤，青，黄，緑のいずれかの色を塗る．ただし，同じ色を$2$度以上使ってもよいものとする．
(i) 辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$が赤色になる塗り方は$[シス]$通りある．
(ii) $3$つの辺が赤色で，残りの$1$つの辺は赤色以外になる塗り方は$[セソ]$通りある．
(iii) 向かい合う辺は同じ色であるが，すべての辺が同じ色とはなっていない塗り方は$[タチ]$通りある．
私立 玉川大学 2014年 第1問$[ア]$～$[ツ]$を埋めよ．
(1)次を計算せよ．
\[ 3+\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3}}}=\frac{[アイウ]}{[エオ]},\quad 3 \times 2 \div 3^{-1}=[カキ] \]
(2)空欄を埋めよ．
\[ \frac{\sqrt{2}+2i}{1-\sqrt{2}i}=-\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}+\frac{[コ]}{[サ]}i \]
(3)$\mathrm{A}$君と，$\mathrm{A}$君の姉の年齢の和は$28$，積は$180$である．$\mathrm{A}$君の年齢は$[シス]$歳，姉の年齢は$[セソ]$歳である．
(4)$\log_8 x+\log_8 (x+2) \geqq 1$を解くと
\[ x \geqq [タ] \]
である．
(5)曲線$y=x^2$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式は$y=[チ]x-[ツ]$である．
(1)次を計算せよ．
\[ 3+\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3}}}=\frac{[アイウ]}{[エオ]},\quad 3 \times 2 \div 3^{-1}=[カキ] \]
(2)空欄を埋めよ．
\[ \frac{\sqrt{2}+2i}{1-\sqrt{2}i}=-\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}+\frac{[コ]}{[サ]}i \]
(3)$\mathrm{A}$君と，$\mathrm{A}$君の姉の年齢の和は$28$，積は$180$である．$\mathrm{A}$君の年齢は$[シス]$歳，姉の年齢は$[セソ]$歳である．
(4)$\log_8 x+\log_8 (x+2) \geqq 1$を解くと
\[ x \geqq [タ] \]
である．
(5)曲線$y=x^2$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式は$y=[チ]x-[ツ]$である．
私立 松山大学 2014年 第2問次の空所$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．
赤玉が$5$個，青玉が$7$個，黄玉が$4$個入っている袋から，玉を同時に$3$個取り出した．
(1)玉の色の組み合わせは$[アイ]$通りである．
(2)取り出した$3$つの玉がすべて同じ色である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)取り出した$3$つの玉がすべて別の色である確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)赤玉を$2$点，青玉を$1$点，黄玉を$0$点とするとき，合計点が$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(5)$(4)$のように点数をつけるとき，合計点の期待値は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソタ]}$である．
赤玉が$5$個，青玉が$7$個，黄玉が$4$個入っている袋から，玉を同時に$3$個取り出した．
(1)玉の色の組み合わせは$[アイ]$通りである．
(2)取り出した$3$つの玉がすべて同じ色である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)取り出した$3$つの玉がすべて別の色である確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)赤玉を$2$点，青玉を$1$点，黄玉を$0$点とするとき，合計点が$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(5)$(4)$のように点数をつけるとき，合計点の期待値は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソタ]}$である．
私立 松山大学 2014年 第3問次の空所$[ア]$～$[ソ]$を埋めよ．
図のような一辺が長さ$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$となり，正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウ]}}{[エオ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$となるようにとる．四面体$\mathrm{PBQD}$の体積は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のときに最大となり，これは正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$倍である．
(3)$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のとき，$\angle \mathrm{DPQ}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$であり，$\triangle \mathrm{DPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シス]}}{[セソ]}$である．
図のような一辺が長さ$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$となり，正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウ]}}{[エオ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$となるようにとる．四面体$\mathrm{PBQD}$の体積は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のときに最大となり，これは正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$倍である．
(3)$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のとき，$\angle \mathrm{DPQ}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$であり，$\triangle \mathrm{DPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シス]}}{[セソ]}$である．
私立 西南学院大学 2013年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$を実数とする．$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$が$x=3$を解にもつとき，
\[ x^3+ax^2+bx+c=(x-3) \left\{ x^2+(a+[ア])x-\frac{[イ]}{[ウ]} c \right\} \]
である．
(2)$(a+3b):(b+3c):(c+3a)=1:2:3$であるとき，$a:b:c=[エオ]:[カ]:9$である．
(3)$3$次方程式$2x^3-6x^2+7x-6=0$の$3$つの解をそれぞれ$2$乗したものの和は，$[キ]$である．
(1)$a,\ b,\ c$を実数とする．$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$が$x=3$を解にもつとき，
\[ x^3+ax^2+bx+c=(x-3) \left\{ x^2+(a+[ア])x-\frac{[イ]}{[ウ]} c \right\} \]
である．
(2)$(a+3b):(b+3c):(c+3a)=1:2:3$であるとき，$a:b:c=[エオ]:[カ]:9$である．
(3)$3$次方程式$2x^3-6x^2+7x-6=0$の$3$つの解をそれぞれ$2$乗したものの和は，$[キ]$である．