$\triangle \mathrm{ABC}$を一辺の長さ$6$の正三角形とする．サイコロを$3$回振り，出た目を順に$X,\ Y,\ Z$とする．出た目に応じて，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ線分$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上に
\[ \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\frac{X}{6} \overrightarrow{\mathrm{BC}},\quad \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\frac{Y}{6} \overrightarrow{\mathrm{CA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{AR}}=\frac{Z}{6} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
をみたすように取る．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になる確率を求めよ．
(2)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_1$，点$\mathrm{C}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{P}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_2$，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{Q}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_3$とする．$T_1,\ T_2,\ T_3$のうち，ちょうど$2$つが正三角形になる確率を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とし，$S$のとりうる値の最小値を$m$とする．$m$の値および$S=m$となる確率を求めよ．

$1$以上$6$以下の$2$つの整数$a,\ b$に対し，関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次の条件（ア），（イ），（ウ）で定める．

（ア） $f_1(x)=\sin (\pi x)$
（イ） $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
（ウ） $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

以下の問いに答えよ．

(1)$a=2,\ b=3$のとき，$f_5(0)$を求めよ．

(2)$a=1,\ b=6$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} (-1)^k f_{2k}(0)$を求めよ．

(3)$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とするとき，$f_6(0)=0$となる確率を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．

次の各問いに答えよ．

(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．

次の各問いに答えよ．

(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．

次の$[　]$の中を適当に補え．

(1)$\displaystyle \frac{5561}{6059}$をこれ以上約分できない分数に直すと$[　]$．
(2)次の漸化式で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=(a_n+n)(a_n-n) \]
このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^5 a_k$を求めると$[　]$．
(3)数直線上で，点$\mathrm{P}$の出発点を原点$\mathrm{O}$とし，サイコロを投げたとき，出た目に応じて，次の規則で点$\mathrm{P}$を動かすものとする．
\begin{itemize}
出た目が$1$または$2$のとき，点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$3$または$4$のとき，点$\mathrm{P}$を負の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$5$または$6$のとき，点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$に戻す．
\end{itemize}
サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率は$[　]$．