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国立 大阪大学 2016年 第3問$1$以上$6$以下の$2$つの整数$a,\ b$に対し，関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次の条件（ア），（イ），（ウ）で定める．
（ア） $f_1(x)=\sin (\pi x)$
（イ） $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
（ウ） $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ．
(1)$a=2,\ b=3$のとき，$f_5(0)$を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とするとき，$f_6(0)=0$となる確率を求めよ．
（ア） $f_1(x)=\sin (\pi x)$
（イ） $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
（ウ） $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ．
(1)$a=2,\ b=3$のとき，$f_5(0)$を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とするとき，$f_6(0)=0$となる確率を求めよ．
国立 神戸大学 2016年 第3問さいころを$4$回振って出た目を順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．以下の問に答えよ．
(1)$ab \geqq cd+25$となる確率を求めよ．
(2)$ab=cd$となる確率を求めよ．
(1)$ab \geqq cd+25$となる確率を求めよ．
(2)$ab=cd$となる確率を求めよ．
国立 岡山大学 2016年 第3問ひとつのサイコロを$3$回振り，出た目を順に$u,\ v,\ w$とする．そして座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を
\[ a_1=u,\quad a_2=0,\quad b_1=v \cos \frac{(w+2)\pi}{12},\quad b_2=v \sin \frac{(w+2)\pi}{12} \]
で定める．このとき以下の問いに答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,\ 0)$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$が大きさ$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ．
\[ a_1=u,\quad a_2=0,\quad b_1=v \cos \frac{(w+2)\pi}{12},\quad b_2=v \sin \frac{(w+2)\pi}{12} \]
で定める．このとき以下の問いに答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,\ 0)$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$が大きさ$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2016年 第5問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がサイコロを振って一番大きな目が出た人を勝者とします．ただし，一番大きな目が出た人が$2$人以上いる場合は，その人たち全員を勝者とします．$1$回目で勝者が一人に決まらなかった場合には，勝者の間で再びサイコロを振って，同様の方法で勝者を決めるものとします．このとき次の問いに答えなさい．
(1)$1$回目で勝者が$1$人に決まる確率を求めなさい．
(2)$1$回目で勝者が$2$人だけ残る確率を求めなさい．
(3)$2$回目で勝者が$1$人に決まる確率を求めなさい．
(1)$1$回目で勝者が$1$人に決まる確率を求めなさい．
(2)$1$回目で勝者が$2$人だけ残る確率を求めなさい．
(3)$2$回目で勝者が$1$人に決まる確率を求めなさい．
国立 東北大学 2016年 第3問サイコロを$3$回振って出た目の数をそれぞれ順に$a,\ b,\ c$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$がある直角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$がある鈍角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$がある直角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$がある鈍角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．
国立 九州大学 2016年 第3問座標平面上で円$x^2+y^2=1$に内接する正六角形で，点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考える．この正六角形の頂点を$\mathrm{P}_0$から反時計まわりに順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$とする．ある頂点に置かれている$1$枚のコインに対し，$1$つのサイコロを$1$回投げ，出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点上を動かす．
\mon[（規則）$(ⅰ)$] $1$から$5$までの目が出た場合は，出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす．例えば，コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす．
(ii) $6$の目が出た場合は，$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす．ただし，コインが$x$軸上にあるときは動かさない．例えば，コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす．
はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き，$1$つのサイコロを続けて何回か投げて，$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える．以下の問いに答えよ．
(1)$2$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(2)$3$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
\mon[（規則）$(ⅰ)$] $1$から$5$までの目が出た場合は，出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす．例えば，コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす．
(ii) $6$の目が出た場合は，$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす．ただし，コインが$x$軸上にあるときは動かさない．例えば，コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす．
はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き，$1$つのサイコロを続けて何回か投げて，$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える．以下の問いに答えよ．
(1)$2$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(2)$3$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
国立 熊本大学 2016年 第2問$1$つのさいころを$3$回投げる．$1$回目に出る目の数，$2$回目に出る目の数，$3$回目に出る目の数をそれぞれ$X_1,\ X_2,\ X_3$とし，$5$つの数
\[ 2,\quad 5,\quad 2-X_1,\quad 5+X_2,\quad X_3 \]
からなるデータを考える．以下の問いに答えよ．
(1)データの範囲が$7$以下である確率を求めよ．
(2)$X_3$がデータの中央値に等しい確率を求めよ．
(3)$X_3$がデータの平均値に等しい確率を求めよ．
(4)データの中央値と平均値が一致するとき，$X_3$が中央値に等しい条件付き確率を求めよ．
\[ 2,\quad 5,\quad 2-X_1,\quad 5+X_2,\quad X_3 \]
からなるデータを考える．以下の問いに答えよ．
(1)データの範囲が$7$以下である確率を求めよ．
(2)$X_3$がデータの中央値に等しい確率を求めよ．
(3)$X_3$がデータの平均値に等しい確率を求めよ．
(4)データの中央値と平均値が一致するとき，$X_3$が中央値に等しい条件付き確率を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第1問$1$個のさいころを$2$回投げ，最初に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．$2$次方程式$x^2-ax+b=0$について，次の問いに答えよ．
(1)実数解は存在すれば正であることを示せ．
(2)実数解の個数が$1$となる確率を求めよ．
(3)実数解の個数が$2$となる確率を求めよ．
(1)実数解は存在すれば正であることを示せ．
(2)実数解の個数が$1$となる確率を求めよ．
(3)実数解の個数が$2$となる確率を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第1問$1$個のさいころを$2$回投げ，最初に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．$2$次方程式$x^2-ax+b=0$について，次の問いに答えよ．
(1)実数解は存在すれば正であることを示せ．
(2)実数解の個数が$1$となる確率を求めよ．
(3)実数解の個数が$2$となる確率を求めよ．
(1)実数解は存在すれば正であることを示せ．
(2)実数解の個数が$1$となる確率を求めよ．
(3)実数解の個数が$2$となる確率を求めよ．
国立 金沢大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がそれぞれ$1$個ずつのサイコロを同時に投げ，出た目を大きさの順に$x_1 \leqq x_2 \leqq x_3$とする．$x_1=x_2=x_3$のときは，もう一度$3$人でサイコロ投げを行う．$x_1 \leqq x_2<x_3$のときは，$x_3$を出した者が勝者となり，サイコロ投げを終了する．$x_1<x_2=x_3$のときは，$x_1$を出した者は去り，残りの$2$人で異なる目が出るまでサイコロ投げを続け，大きい目を出した者が勝者となり，サイコロ投げを終了する．次の問いに答えよ．
(1)$1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が$3$を出して勝者となる場合の数を求めよ．
(2)$1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が勝者となる場合の数を求めよ．
(3)$1$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ．
(4)$2$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ．
(1)$1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が$3$を出して勝者となる場合の数を求めよ．
(2)$1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が勝者となる場合の数を求めよ．
(3)$1$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ．
(4)$2$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ．