横浜市立大学
2010年 医学部 第1問
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以下の問いに答えよ.
(1) $4$次方程式 \[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \] を考える.ただし,$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で,$a \neq 0$とする.$x=t+\alpha$($\alpha$は定数)とおいて,$t$に関する$4$次方程式 \[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \] の形にする.このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ.
(2) $R$を正の実数とする.極限値 \[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \] を求めよ.
(3) 地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には \[ \log_{10}E=4.8+1.5M \] の関係がある(単位系は省略).$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり,気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる.東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており,それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい.駿河湾地震のエネルギーを$E_S$,東海地震のそれを$E_T$とおき \[ \frac{E_T}{E_S} \] を求めよ.簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$,$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し,小数点以下は切り捨てること.
(1) $4$次方程式 \[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \] を考える.ただし,$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で,$a \neq 0$とする.$x=t+\alpha$($\alpha$は定数)とおいて,$t$に関する$4$次方程式 \[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \] の形にする.このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ.
(2) $R$を正の実数とする.極限値 \[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \] を求めよ.
(3) 地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には \[ \log_{10}E=4.8+1.5M \] の関係がある(単位系は省略).$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり,気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる.東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており,それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい.駿河湾地震のエネルギーを$E_S$,東海地震のそれを$E_T$とおき \[ \frac{E_T}{E_S} \] を求めよ.簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$,$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し,小数点以下は切り捨てること.
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