平面上の点$\mathrm{A}$を中心とする半径$a$の円から，中心角が${60}^\circ$で$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=a$となる扇形$\mathrm{APQ}$を切り取る．つぎに線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$を貼り合わせて，$\mathrm{A}$を頂点とする直円錐$K$を作り，これを点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間におく．
$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸，$x$軸上の正の位置にとり，扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする．
また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする． \imgc{611_2263_2011_1} 以下の問いに答えよ．
(1) $S$の半径を$b$とする．$S$上の点$\mathrm{R}(b \cos \theta,\ b \sin \theta,\ 0) \ \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$に対し，$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする．$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする．$r$を$a$と$\theta$を用いて表し，定積分 \[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \] を求めよ．ただし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$を$xy$平面に{\bf 正射影したベクトル}とは$\overrightarrow{\mathrm{OE}^\prime}=(a_1,\ a_2,\ 0)$のことである．