山口大学
2016年 工・理・教育 第4問
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$n$を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1) $\alpha,\ \beta$を実数とし， \[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \] とする．$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明しなさい． \[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2) $b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし， \[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \] とする．また，$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し，$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく．
(ⅰ) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい．
(ⅱ) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい．
(1) $\alpha,\ \beta$を実数とし， \[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \] とする．$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明しなさい． \[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2) $b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし， \[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \] とする．また，$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し，$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく．
(ⅰ) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい．
(ⅱ) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい．
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