数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を \[ a_n=\int_{n-\frac{1}{4}}^{n+\frac{1}{4}} e^{-4x} \cos (2\pi x) \, dx,\quad b_n=\int_{n-\frac{1}{4}}^{n+\frac{1}{4}} e^{-4x} \sin (2\pi x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] と定める．ただし，$e$は自然対数の底を表す．
(1) $a_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより， \[ a_n=-\frac{\pi}{\fbox{ア}}b_n \] がわかる．
一方，$b_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより， \[ b_n=\frac{\pi}{\fbox{イ}}a_n-\frac{e^{\mkakko{ウ}}+\fbox{エ}}{\fbox{オ}e^{\mkakko{カ}n+\mkakko{キ}}} \] がわかる．
これらの関係式より，$a_n$は \[ a_n=\frac{\pi \left( e^{\mkakko{ク}}+\fbox{ケ} \right)}{\fbox{コ} \left( \pi^{\mkakko{サ}}+\fbox{シ} \right) e^{\mkakko{ス}n+\mkakko{セ}}} \] となることがわかる．
(2) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$の和は$\displaystyle \frac{\pi}{\fbox{ソ} \left( \pi^{\mkakko{タ}}+\fbox{チ} \right) \left( e^{\mkakko{ツ}}-e \right)}$となる．