座標平面上の曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 9)$をとり，$t$を実数として，点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$をとる．$f(t)=\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$とおく．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積を表している．さらに，$t \neq -1,\ 3$のとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$のなす角を$\theta$とおく．ただし，$0 \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(1) $t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ．
(2) $f(t)$は$t$の$4$次式となる．それを降べきの順に整理して書け．
(3) $f(t)$は \[ f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b) \quad (\text{ただし，$m,\ n,\ a,\ b$は整数}) \] の形に書ける．$f(t)$をこの形に書き表せ．
(4) $-1<t<3$の範囲内で，$\theta={90}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
(5) 左側からの極限$\displaystyle \lim_{t \to 3-0} \cos \theta$の値を求めよ．