東京学芸大学
2014年 理系 第2問
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平面上に異なる$3$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$,$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$,$\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$がある.線分$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$,$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とする.さらに線分$\mathrm{PQ}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{R}(\overrightarrow{r})$とする.$\displaystyle t=\frac{m}{m+n} \ \ (0<t<1)$とするとき,下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{r}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ.
(2) $1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$に対し,上のように点$\mathrm{R}$をとる.直線$\mathrm{AC}$に対して点$\mathrm{B}$と対称な位置にある点を$\mathrm{O}$とする.点$\mathrm{R}$は,点$\mathrm{O}$を中心とし半径$\mathrm{OA}$の円の外部にあることを示せ.
(1) $\overrightarrow{r}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ.
(2) $1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$に対し,上のように点$\mathrm{R}$をとる.直線$\mathrm{AC}$に対して点$\mathrm{B}$と対称な位置にある点を$\mathrm{O}$とする.点$\mathrm{R}$は,点$\mathrm{O}$を中心とし半径$\mathrm{OA}$の円の外部にあることを示せ.
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