正の整数$a,\ b$の組$(a,\ b)$の全体を \[ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (2,\ 1),\ (1,\ 3),\ \cdots \] のように$1$列に並べる．ここで，$2$つの組$(a_i,\ b_i) \ \ (i=1,\ 2)$について，$a_1+b_1<a_2+b_2$ならば$(a_1,\ b_1)$の方を先に並べ，また，$a_1+b_1=a_2+b_2$ならば，$a_1<a_2$のとき$(a_1,\ b_1)$の方を先に並べるものとする．次の各問に答えよ．なお，必要ならば公式 \[ \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 \] を使ってよい．
(1) 組$(5,\ 5)$は初めから何番目にあるか．
(2) $m,\ n$を正の整数とする．組$(m,\ n)$は初めから何番目にあるか．
(3) 初めから$200$番目にある組を求めよ．
(4) 初めから$n$番目の組が$(a,\ b)$であるとき，$c_n=ab$とおく．和$c_1+\cdots +c_{200}$を求めよ．